TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỀ THI: Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 được biên soạn theo cấu trúc đề thi mới nhất. Bộ đề gồm 3 phần kiến ...
Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 được biên soạn theo cấu trúc đề thi mới nhất. Bộ đề gồm 3 phần kiến thức toàn diện: 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, các câu trắc nghiệm Đúng/Sai đánh giá tư duy sâu, và phần trắc nghiệm trả lời ngắn thử thách năng lực giải toán ứng dụng thực tế. Đề thi kèm bảng đáp án và hướng dẫn giải chi tiết cho từng dạng bài.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Thí sinh chọn một phương án đúng duy nhất cho mỗi câu hỏi.
Câu 1: Đường cong cho trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. \(y = \frac{x+1}{x-1}\)
B. \(y = \frac{x-2}{x+1}\)
C. \(y = \frac{x^2-x+1}{x-1}\)
D. \(y = x^3 - 3x + 1\)
Câu 2: Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài \(a\) (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân \(ABCD\) (bờ sông là đường thẳng \(CD\) không phải rào, mỗi tấm lưới là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
A. \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
B. \(a^2\sqrt{3}\)
C. \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\)
D. \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)
Câu 4: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên và đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).
B. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\).
C. Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\).
D. Hàm số không có cực trị.
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos 3x\).
A. \(\int f(x) dx = 3\sin 3x + C\)
B. \(\int f(x) dx = -\frac{1}{3}\sin 3x + C\)
C. \(\int f(x) dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
D. \(\int f(x) dx = -3\sin 3x + C\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Thí sinh chọn Đúng hoặc Sai cho mỗi ý a), b), c), d) trong từng câu hỏi.
Câu 1: Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ.
a) Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng \((2; 4)\).
b) Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{f(x)}\) có đúng 1 đường tiệm cận đứng.
c) Hàm số \(y = f(f(x))\) có 7 điểm cực trị thuộc khoảng \((-2; 4)\).
d) Nếu \(m\) là tham số thực thì có đúng 26 giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình \(f(x) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 2: Màn hình LED là màn hình điện tử cỡ lớn đặt thẳng đứng tại một sân vận động, cao \(2,4\text{ m}\), cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm mắt khán giả \(A\) ngồi dưới nó là \(8,5\text{ m}\). Một khán giả \(B\) có góc quan sát màn hình LED là thuận lợi nhất khi góc nhìn đối diện với màn hình LED là cực đại. Khi đó khoảng cách giữa khán giả \(A\) và \(B\) bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 6: Một chiếc điện thoại iPhone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt \(S\) và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là \(A, B, C\). Cho biết điện thoại có trọng lượng \(P = 6\text{ N}\) và lực tác dụng chia đều lên ba chân. Tìm tọa độ và độ lớn vector lực tác dụng.
BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI TÓM TẮT
Đáp án Phần I (Trắc nghiệm nhiều phương án)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | C | C | C | D | C | C | A | C | D |
Lời giải chi tiết một số câu trọng tâm:
Câu 2: Kẻ đường cao \(BH\), gọi số đo góc ở đáy hình thang là \(\alpha\). Khi đó diện tích mảnh vườn được tính theo công thức:
\[S(\alpha) = a^2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha), \quad \alpha \in (0^\circ; 90^\circ)\]
Lập bảng biến thiên hàm số \(S(\alpha)\), ta thu được diện tích lớn nhất đạt tại \(\alpha = 60^\circ\) với giá trị \(S_{\max} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\).
