Tóm tắt nội dung đề thi: Cấu trúc đề thi gồm 7 câu hỏi tự luận bao quát các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán THCS. Đề bao gồm bài ...
Tóm tắt nội dung đề thi: Cấu trúc đề thi gồm 7 câu hỏi tự luận bao quát các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán THCS. Đề bao gồm bài tập rút gọn biểu thức, giải phương trình và ứng dụng hệ thức Vi-ét; bài toán thống kê ghép nhóm và xác suất thực nghiệm; giải bài toán thực tế liên quan đến chi phí vé tham quan và bài toán năng suất; cùng các câu hỏi hình học phẳng (chứng minh nội tiếp, đồng dạng) và hình học không gian (tính thể tích khối nón).
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (1,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = x - 9\) khi \(x = 10\).
b) Viết điều kiện xác định của phân thức \(B = \frac{2x + 7}{x - 4}\).
c) Rút gọn biểu thức \(C = \left(\frac{1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}\right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}\) với \(x > 0\) và \(x \neq 9\).
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = x - 9\) khi \(x = 10\).
b) Viết điều kiện xác định của phân thức \(B = \frac{2x + 7}{x - 4}\).
c) Rút gọn biểu thức \(C = \left(\frac{1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}\right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}\) với \(x > 0\) và \(x \neq 9\).
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \(2x - 8 = x + 3\).
b) Cho phương trình \(x^2 - 6x + 2 = 0\). Biết rằng phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt{12x_1 + 7} + x_2\).
a) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \(2x - 8 = x + 3\).
b) Cho phương trình \(x^2 - 6x + 2 = 0\). Biết rằng phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt{12x_1 + 7} + x_2\).
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Kết quả thống kê quãng đường đi bộ (đơn vị: kilômét) của 50 người tập thể dục vào một buổi sáng được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau:
Dựa vào bảng trên, hãy cho biết có bao nhiêu người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km?
b) Bạn An có hai chiếc hộp đựng các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Hộp A đựng 4 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4. Hộp B đựng 4 tấm thẻ được đánh số 3; 4; 5; 6. Bạn An lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp A, sau đó lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp B. Tính xác suất của biến cố M: “Số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp B chia hết cho số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp A”.
a) Kết quả thống kê quãng đường đi bộ (đơn vị: kilômét) của 50 người tập thể dục vào một buổi sáng được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau:
| Nhóm | [2;3) | [3;4) | [4;5) | [5;6) | [6;7) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 9 | 15 | 16 | 7 | 3 |
Dựa vào bảng trên, hãy cho biết có bao nhiêu người đi bộ từ 2 km đến dưới 4 km?
b) Bạn An có hai chiếc hộp đựng các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Hộp A đựng 4 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4. Hộp B đựng 4 tấm thẻ được đánh số 3; 4; 5; 6. Bạn An lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp A, sau đó lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp B. Tính xác suất của biến cố M: “Số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp B chia hết cho số đánh trên tấm thẻ lấy ra từ hộp A”.
Câu 4 (1,0 điểm)
Giá vé tham quan trong ngày của một địa điểm du lịch đối với khách tham quan từ 18 tuổi trở lên là 200 nghìn đồng/người, từ 6 tuổi đến dưới 18 tuổi là 40 nghìn đồng/người, dưới 6 tuổi là miễn phí.
a) Hỏi một đoàn khách gồm 11 người trên 18 tuổi, 7 người từ 6 tuổi đến 10 tuổi và 2 người dưới 6 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên thì phải trả bao nhiêu tiền vé?
b) Đối với người dân có hộ khẩu tại địa phương, giá vé tham quan được giảm 50%. Một gia đình gồm 10 người trên 18 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên. Gọi \(x\) là số người có hộ khẩu tại địa phương của gia đình đó (với \(x \in \mathbb{N}, x \le 10\)) và \(y\) (nghìn đồng) là số tiền vé gia đình đó phải trả. Hãy viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x\).
Giá vé tham quan trong ngày của một địa điểm du lịch đối với khách tham quan từ 18 tuổi trở lên là 200 nghìn đồng/người, từ 6 tuổi đến dưới 18 tuổi là 40 nghìn đồng/người, dưới 6 tuổi là miễn phí.
a) Hỏi một đoàn khách gồm 11 người trên 18 tuổi, 7 người từ 6 tuổi đến 10 tuổi và 2 người dưới 6 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên thì phải trả bao nhiêu tiền vé?
b) Đối với người dân có hộ khẩu tại địa phương, giá vé tham quan được giảm 50%. Một gia đình gồm 10 người trên 18 tuổi đến tham quan địa điểm du lịch trên. Gọi \(x\) là số người có hộ khẩu tại địa phương của gia đình đó (với \(x \in \mathbb{N}, x \le 10\)) và \(y\) (nghìn đồng) là số tiền vé gia đình đó phải trả. Hãy viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi 1/6, một nhóm tình nguyện viên có kế hoạch gói 900 phần quà để tặng cho trẻ em có hoàn cảnh khó khăn. Vì mỗi ngày nhóm đã gói thêm 15 phần quà so với dự định nên nhóm đã gói xong 900 phần quà sớm hơn 3 ngày so với kế hoạch. Tính số phần quà mà nhóm tình nguyện viên dự định gói mỗi ngày (biết rằng số phần quà được gói mỗi ngày là như nhau).
Nhân ngày Quốc tế thiếu nhi 1/6, một nhóm tình nguyện viên có kế hoạch gói 900 phần quà để tặng cho trẻ em có hoàn cảnh khó khăn. Vì mỗi ngày nhóm đã gói thêm 15 phần quà so với dự định nên nhóm đã gói xong 900 phần quà sớm hơn 3 ngày so với kế hoạch. Tính số phần quà mà nhóm tình nguyện viên dự định gói mỗi ngày (biết rằng số phần quà được gói mỗi ngày là như nhau).
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có các đường cao \(AD, BE\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn \(AH\). Qua điểm \(K\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(BK\), đường thẳng này cắt \(AC\) tại điểm \(M\).
a) Chứng minh 4 điểm \(B, K, E, M\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(\widehat{KMB} = \widehat{ACB}\).
c) Vẽ đường tròn tâm \(O\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\), kẻ đường kính \(BN\) của đường tròn \((O)\). Chứng minh tam giác \(BKM\) đồng dạng với tam giác \(BAN\) và đường thẳng \(OM\) đi qua trung điểm của đoạn \(NC\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có các đường cao \(AD, BE\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn \(AH\). Qua điểm \(K\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(BK\), đường thẳng này cắt \(AC\) tại điểm \(M\).
a) Chứng minh 4 điểm \(B, K, E, M\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(\widehat{KMB} = \widehat{ACB}\).
c) Vẽ đường tròn tâm \(O\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\), kẻ đường kính \(BN\) của đường tròn \((O)\). Chứng minh tam giác \(BKM\) đồng dạng với tam giác \(BAN\) và đường thẳng \(OM\) đi qua trung điểm của đoạn \(NC\).
Câu 7 (1,0 điểm)
Bạn Bình có hai ly thủy tinh. Biết rằng phần chứa nước của hai ly có dạng hình nón với bán kính đáy cùng bằng 4 cm và chiều cao cùng bằng 10 cm. Ban đầu, ly thứ nhất chứa đầy nước và ly thứ hai không chứa nước. Bạn Bình đổ bớt nước từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho chiều cao của lượng nước trong ly thứ nhất chỉ còn \(\frac{3}{4}\) so với chiều cao của lượng nước trong ly lúc ban đầu. Khi đó, tính chiều cao của lượng nước có trong ly thứ hai (xem bề dày thành ly không đáng kể và nước không bị đổ ra ngoài).
Bạn Bình có hai ly thủy tinh. Biết rằng phần chứa nước của hai ly có dạng hình nón với bán kính đáy cùng bằng 4 cm và chiều cao cùng bằng 10 cm. Ban đầu, ly thứ nhất chứa đầy nước và ly thứ hai không chứa nước. Bạn Bình đổ bớt nước từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho chiều cao của lượng nước trong ly thứ nhất chỉ còn \(\frac{3}{4}\) so với chiều cao của lượng nước trong ly lúc ban đầu. Khi đó, tính chiều cao của lượng nước có trong ly thứ hai (xem bề dày thành ly không đáng kể và nước không bị đổ ra ngoài).
