Tóm tắt tài liệu: Tài liệu giới thiệu đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên môn Toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2026-2027. Hai trang đầu bao ...
Tóm tắt tài liệu: Tài liệu giới thiệu đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên môn Toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2026-2027. Hai trang đầu bao gồm hệ thống câu hỏi chính của đề thi và lời giải chi tiết cho Câu 1 về biến đổi căn thức, tính giá trị biểu thức đại số và bài toán đồ thị hàm số bậc nhất cắt hai trục tọa độ.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (CÂU 1 & CÂU 2)
Câu 1. (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{1 - 2\sqrt{x} + x}\) khi \(x = 20 - \sqrt[3]{\frac{32}{3\sqrt{3}-5}} + \sqrt[3]{\frac{32}{3\sqrt{3}+5}}\).
2) Cho hàm số bậc nhất \(y = \frac{m}{3m-2}x + \frac{m-1}{3m-2}\) (\(m\) là tham số) có đồ thị là đường thẳng \(d\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt các trục tọa độ \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A, B\) sao cho \(AB = \sqrt{2}\).
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: \(\frac{3x}{\sqrt{x+4}+2} - \frac{3x}{\sqrt{1-x}+1} + \frac{12x}{\sqrt{3x+9}+3} = x^2 + 7x\).
2) Giải hệ phương trình: \(\begin{cases} x^2 + (x-1)(y+1) = 2y^2 - 1 \\ x^2 + y^2 - 10 = 0 \end{cases}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÂU 1
Lời giải Câu 1:
1) Ta biến đổi các biểu thức trong căn thức bậc ba:
\[\frac{32}{3\sqrt{3}-5} = \frac{32(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)} = \frac{32(3\sqrt{3}+5)}{27-25} = 16(3\sqrt{3}+5) = 48\sqrt{3}+80\]
Từ đó suy ra: \(\sqrt[3]{\frac{32}{3\sqrt{3}-5}} = \sqrt[3]{(2+2\sqrt{3})^3} = 2 + 2\sqrt{3}\).
Tương tự: \(\sqrt[3]{\frac{32}{3\sqrt{3}+5}} = \sqrt[3]{(2\sqrt{3}-2)^3} = 2\sqrt{3}-2\).
Do đó: \(x = 20 - (2 + 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - 2) = 16\).
Khi đó giá trị biểu thức: \(P = \frac{1}{1 - 2\sqrt{16} + 16} = \frac{1}{9}\).
2) Điều kiện xác định: \(m \neq \frac{2}{3}\).
Để đường thẳng \(d\) cắt hai trục \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(A, B\) phân biệt khác gốc tọa độ \(O\) thì \(m \neq 1\).
Giao điểm của \(d\) với trục tung \(Oy\) là \(B(0; y_B)\) với \(y_B = \frac{m-1}{3m-2} \Rightarrow OB = \left|\frac{m-1}{3m-2}\right| > 0\).
Giao điểm của \(d\) với trục hoành \(Ox\) là \(A(x_A; 0)\) với \(x_A = -\frac{m-1}{m} \Rightarrow OA = \left|\frac{m-1}{m}\right| > 0\).
Vì tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), áp dụng định lý Pythagore:
\[OA^2 + OB^2 = AB^2 \Leftrightarrow \left(\frac{m-1}{m}\right)^2 + \left(\frac{m-1}{3m-2}\right)^2 = 2\]
\[\Leftrightarrow (m-1)^2 \left(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{(3m-2)^2}\right) = 2 \Leftrightarrow (2m-1)^2(m^2+2m-2) = 0\]
Giải ra ta được: \(m = \frac{1}{2}\) và \(m = -1 \pm \sqrt{3}\) (thỏa mãn điều kiện).
