Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở GD&ĐT Nghệ An bao gồm 5 câu hỏi tự luận chính vớ...
Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở GD&ĐT Nghệ An bao gồm 5 câu hỏi tự luận chính với thời gian làm bài 120 phút. Nội dung khảo sát toàn diện kiến thức chương trình Toán THCS bao gồm: Thống kê tần số tương đối, xác suất biến cố đơn giản, biến đổi căn thức, đồ thị hàm số bậc hai, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình, ứng dụng định lý Vi-ét, hình học phẳng tổng hợp (chứng minh tứ giác nội tiếp, góc, đẳng thức tích, trực tâm) và bài toán thực tế hình học không gian (thể tích hình cầu, thể tích hình trụ - nón).
Câu 1 (1,5 điểm)
a) Một trang trại trồng cà rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch người ta đo chiều dài các củ cà rốt và thu được kết quả sau:
| Chiều dài (cm) | [15;16) | [16;17) | [17;18) | [18;19) | [19;20) | [20;21) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số củ cà rốt | 8 | 17 | 30 | 26 | 14 | 5 |
Xác định tần số và tính tần số tương đối của nhóm \([17; 18)\).
b) Một hộp chứa 5 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số). Bạn An rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất để An rút được tấm thẻ ghi số chẵn.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = \sqrt{4} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{49}\).
b) Rút gọn biểu thức \(B = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-2} - \frac{1}{x-4} \right) \cdot \frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}\), với \(x \ge 0, x \neq 4\).
c) Cho hàm số \(y = ax^2\). Tìm giá trị của \(a\) để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(M(2;6)\).
Câu 3 (2,5 điểm)
a) Có hai nhóm học sinh cùng đến một cửa hàng để mua hoa quả. Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng. Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam, tổng số tiền phải trả là 160 nghìn đồng. Hãy tính giá tiền 1 kg táo và giá tiền 1 kg cam.
b) Một ô tô tải khởi hành từ thành phố A để đi đến thành phố B. Sau đó 36 phút, một ô tô con cũng xuất phát từ thành phố A để đi đến thành phố B trên cùng một tuyến đường với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô tải là 15 km/h. Do vận tốc lớn hơn nên ô tô con đã đuổi kịp và đến thành phố B cùng lúc với ô tô tải. Giả thiết rằng vận tốc của mỗi xe là không đổi trên cả tuyến đường. Hãy tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường giữa hai thành phố A và B là 154 km.
c) Cho phương trình \(x^2 - 5x + 1 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức:
\[P = \frac{1}{2 + \sqrt{23x_1^2 - 1}} + \frac{3x_2^2 + 7}{5x_2 + 1}\]
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)) và nội tiếp đường tròn \((O)\). Các đường cao \(AD, BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), đường kính \(AL\) của đường tròn \((O)\) cắt \(ME\) tại \(N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\widehat{BAD} = \widehat{LAC}\) và \(AE \cdot AB = 2AN \cdot OM\).
c) Tia \(AM\) cắt \(EF\) tại \(K\). Gọi \(I\) là chân đường vuông góc hạ từ \(K\) xuống \(BC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADI\) cắt \(AB\) và \(AC\) tương ứng tại \(P\) và \(Q\) (\(P, Q\) khác \(A\)). Chứng minh \(K\) là trực tâm của tam giác \(APQ\).
Câu 5 (1,0 điểm)
a) Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện với môi trường, độ bền cao và có dạng hình cầu. Biết rằng đường kính quả bóng bàn là 4 cm. Tính thể tích quả bóng bàn đó.
b) Người ta thiết kế một vật trang trí hình trụ bằng một loại chất liệu trong suốt, bên trong có một hình nón màu sắc rực rỡ. Biết rằng đỉnh hình nón là tâm đáy trên của hình trụ, đáy hình nón trùng với đáy dưới của hình trụ và đường sinh hình nón bằng 6 cm. Hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích vật trang trí đó.
