Tóm tắt nội dung: Tài liệu tổng hợp lời giải chi tiết và chuẩn xác cho toàn bộ các bài tập Luyện tập cùng bài tập Vận dụng thuộc Bài 2: Gi...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu tổng hợp lời giải chi tiết và chuẩn xác cho toàn bộ các bài tập Luyện tập cùng bài tập Vận dụng thuộc Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (SGK Toán 12 mới). Nội dung hỗ trợ học sinh nắm chắc quy trình khảo sát tính giá trị cực trị trên đoạn/khoảng và ứng dụng mô hình toán học giải quyết bài toán thực tế.
PHẦN I: CÁC BÀI LUYỆN TẬP
1. Luyện tập 1 (Trang 17 SGK Toán 12 Tập 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = 2\sqrt{x - x^2}\)
b) \(y = -x + \frac{1}{x - 1}\) trên khoảng \((1; +\infty)\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = 2\sqrt{x - x^2}\):
• Điều kiện xác định: \(x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(1 - x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\). Tập xác định \(D = [0; 1]\).
• Tính đạo hàm trên khoảng \((0; 1)\):
\[y' = \frac{2(1 - 2x)}{2\sqrt{x - x^2}} = \frac{1 - 2x}{\sqrt{x - x^2}}\]
\(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \in (0; 1)\).
• Giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt: \(y(0) = 0\); \(y(1) = 0\); \(y\left(\frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = 1\).
• Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max_{[0; 1]} y = y\left(\frac{1}{2}\right) = 1\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\min_{[0; 1]} y = y(0) = y(1) = 0\).
b) Xét hàm số \(y = -x + \frac{1}{x - 1}\) trên khoảng \((1; +\infty)\):
• Tính đạo hàm:
\[y' = -1 - \frac{1}{(x - 1)^2}\]
Vì \(-1 < 0\) và \(-\frac{1}{(x - 1)^2} < 0\) với mọi \(x > 1\), nên \(y' < 0, \forall x \in (1; +\infty)\). Hàm số luôn nghịch biến trên \((1; +\infty)\).
• Giới hạn của hàm số:
\(\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \left[-x + \frac{1}{x - 1}\right] = +\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \left[-x + \frac{1}{x - 1}\right] = -\infty\)
• Kết luận: Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \((1; +\infty)\).
2. Luyện tập 2 (Trang 18 SGK Toán 12 Tập 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 2\) trên đoạn \([0; 2]\);
b) \(y = (x + 1)e^{-x}\) trên đoạn \([-1; 1]\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 2\) trên đoạn \([0; 2]\):
• Đạo hàm:
\[y' = 6x^2 - 6x + 5 = 6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2} > 0, \forall x \in [0; 2]\]
Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn \([0; 2]\).
• Tính giá trị tại hai đầu mút: \(y(0) = 2\); \(y(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 + 2 = 16\).
• Kết luận: \(\max_{[0; 2]} y = y(2) = 16\); \(\min_{[0; 2]} y = y(0) = 2\).
b) Xét hàm số \(y = (x + 1)e^{-x}\) trên đoạn \([-1; 1]\):
• Đạo hàm: \(y' = e^{-x} - (x + 1)e^{-x} = -xe^{-x}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow -xe^{-x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [-1; 1]\).
• Giá trị hàm số tại các điểm: \(y(-1) = (-1 + 1)e^1 = 0\); \(y(0) = (0 + 1)e^0 = 1\); \(y(1) = (1 + 1)e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736\).
• So sánh các giá trị: \(0 < \frac{2}{e} < 1\).
• Kết luận: \(\max_{[-1; 1]} y = y(0) = 1\); \(\min_{[-1; 1]} y = y(-1) = 0\).
PHẦN II: PHẦN VẬN DỤNG
Vận dụng (Trang 18 SGK Toán 12 Tập 1)
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số: \(N(t) = -t^3 + 12t^2\), với \(0 \le t \le 12\). Trong đó, \(N(t)\) là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và \(t\) là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm \(N'(t)\) biểu thị tốc độ lây lan của virus (tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?
Lời giải chi tiết
a) Ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương:
• Số người bị nhiễm bệnh lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số \(N(t)\) trên đoạn \([0; 12]\).
• Đạo hàm: \(N'(t) = -3t^2 + 24t\).
\(N'(t) = 0 \Leftrightarrow -3t(t - 8) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 8\) (đều thuộc đoạn \([0; 12]\)).
• Tính giá trị tại các đầu mút và điểm cực trị:
\(N(0) = 0\)
\(N(12) = -12^3 + 12 \cdot 12^2 = 0\)
\(N(8) = -8^3 + 12 \cdot 8^2 = 256\)
• So sánh ta có: \(\max_{[0; 12]} N(t) = N(8) = 256\) (trăm người).
• Kết luận: Số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 trăm người (tương đương 25.600 người) sau 8 tuần.
b) Thời điểm virus lây lan nhanh nhất:
• Tốc độ lây lan của virus được mô tả bởi hàm số \(v(t) = N'(t) = -3t^2 + 24t\) trên đoạn \([0; 12]\).
• Để tìm thời điểm virus lây lan nhanh nhất, ta tìm giá trị lớn nhất của \(v(t)\) trên đoạn \([0; 12]\).
• Đạo hàm của \(v(t)\): \(v'(t) = -6t + 24\).
\(v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in [0; 12]\).
• Tính giá trị tốc độ tại các điểm:
\(v(0) = 0\)
\(v(12) = -3 \cdot 12^2 + 24 \cdot 12 = -144\)
\(v(4) = -3 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 = 48\)
• So sánh ta được giá trị lớn nhất \(\max_{[0; 12]} v(t) = v(4) = 48\) (trăm người/tuần).
• Kết luận: Tốc độ lây lan của virus nhanh nhất tại thời điểm \(t = 4\) tuần (tuần thứ 4), với tốc độ lây lan đạt 48 trăm người/tuần (tương đương 4.800 người/tuần).
