Tổng hợp hướng dẫn giải chi tiết các câu hỏi Luyện tập và Vận dụng thuộc Bài 4 môn Toán lớp 12 Tập 1. Nội dung bao gồm các bước khảo sát sự...
Tổng hợp hướng dẫn giải chi tiết các câu hỏi Luyện tập và Vận dụng thuộc Bài 4 môn Toán lớp 12 Tập 1. Nội dung bao gồm các bước khảo sát sự biến thiên, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, xác định tâm đối xứng và vẽ đồ thị hàm số đa thức, hàm phân thức cũng như bài toán ứng dụng thực tế.
1. Luyện tập 1 (Trang 28 SGK Toán 12 Tập 1)
Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = -2x^3 + 3x^2 - 5x\)
Lời giải chi tiết:
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
2. Sự biến thiên:
- Đạo hàm: \[y' = -6x^2 + 6x - 5 = -6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{2}\] \(y' \lt 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
- Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \to -\infty} y = +\infty\); \(\lim_{x \to +\infty} y = -\infty\).
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
- Giao điểm với trục \(Oy\): Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0\). Đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\).
- Tâm đối xứng: Ta có \(y'' = -12x + 6\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = -2\). Đồ thị nhận điểm \(I\left(\frac{1}{2}; -2\right)\) làm tâm đối xứng.
2. Luyện tập 2 (Trang 29 SGK Toán 12 Tập 1)
Đề bài: Khảo sát hàm số chi phí trung bình \(f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{2x + 45}{x}\) với \(x \ge 1\) (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm).
Lời giải chi tiết:
• Biểu diễn: \(f(x) = 2 + \frac{45}{x}\) với \(x \ge 1\).
• Đạo hàm: \(f'(x) = -\frac{45}{x^2} < 0\) với mọi \(x \ge 1\).
• Chiều biến thiên: Hàm số giảm (nghịch biến) trên \([1; +\infty)\).
• Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\). Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang.
• Ý nghĩa thực tiễn: Khi số lượng sản phẩm \(x\) tăng lên thì chi phí sản xuất trung bình giảm dần nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.
3. Vận dụng (Trang 29 SGK Toán 12 Tập 1)
Đề bài: Bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Cứ mỗi phút bơm thêm 40 lít nước và 20 gam chất khử trùng.
a) Tính thể tích nước, khối lượng và nồng độ chất khử trùng \(C(t)\) sau \(t\) phút.
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(C(t)\) với \(t \ge 0\).
c) Giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo \(t\) nhưng không vượt quá 0,5 gam/lít.
Lời giải chi tiết:
a) Thể tích nước: \(V(t) = 200 + 40t\) (lít). Khối lượng chất khử trùng: \(m(t) = 20t\) (gam).
Nồng độ chất khử trùng: \[C(t) = \frac{m(t)}{V(t)} = \frac{20t}{200 + 40t} = \frac{t}{2t + 10} \text{ (gam/lít)}\]
b) Khảo sát hàm số \(C(t)\) với \(t \ge 0\):
- Đạo hàm: \(C'(t) = \frac{10}{(2t + 10)^2} > 0\) với mọi \(t \ge 0\). Hàm số luôn đồng biến trên \([0; +\infty)\).
- Tiệm cận ngang: \(\lim_{t \to +\infty} C(t) = 0,5\). Đường thẳng \(y = 0,5\) là tiệm cận ngang.
c) Ý nghĩa: Nồng độ tăng do \(C'(t) > 0\), và do \(\lim_{t \to +\infty} C(t) = 0,5\) nên nồng độ tiệm cận và không vượt qua ngưỡng 0,5 gam/lít.
4. Luyện tập 3 (Trang 32 SGK Toán 12 Tập 1)
Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2}\)
Lời giải chi tiết:
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
2. Sự biến thiên:
• Biểu diễn: \(y = -x + 1 + \frac{1}{x - 2}\).
• Đạo hàm: \(y' = -1 - \frac{1}{(x - 2)^2} < 0\) với mọi \(x \neq 2\). Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty; 2)\) và \((2; +\infty)\).
• Đường tiệm cận: Tiệm cận đứng \(x = 2\); Tiệm cận xiên \(y = -x + 1\).
3. Đồ thị: Nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I(2; -1)\) làm tâm đối xứng.
