Bài viết này hướng dẫn giải các bài tập lượng giác nâng cao thuộc chương trình Toán 11, bao gồm ứng dụng biến đổi lượng giác vào phương trì...
A. Bài tập Trắc nghiệm Đúng / Sai
Câu 19. Trong vật lý, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa được cho bởi công thức \(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x(t)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động (\(A > 0\)).
| Mệnh đề | Đúng | Sai |
|---|---|---|
| (a) Nếu một vật dao động theo phương trình \(x(t) = 5 \cos\left(100\pi t + \frac{\pi}{4}\right)\) thì li độ của vật ở thời điểm ban đầu là \(5\sqrt{2}\). | ||
| (b) Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x(t) = 10 \sin(50\pi t) \cdot \cos(50\pi t)\) thì biên độ của dao động là \(5\). | ||
| (c) Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là \(x_1 = 5 \cos(100\pi t + \pi)\) (cm) và \(x_2 = 5 \cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)\) (cm). Khi đó phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên là \(x = 5\sqrt{2} \cos\left(100\pi t + \frac{\pi}{4}\right)\) (cm). | ||
| (d) Một sợi cáp \(R\) được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất \(14\text{ m}\). Một sợi cáp \(S\) khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất \(12\text{ m}\). Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột \(15\text{ m}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai sợi cáp trên, khi đó \(\tan \alpha = \frac{10}{131}\). |
Lời giải chi tiết Câu 19
(a) Chọn SAI.
Li độ của vật ở thời điểm ban đầu (ứng với \(t = 0\)) là:
\[x(0) = 5 \cos\left(100\pi \cdot 0 + \frac{\pi}{4}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \neq 5\sqrt{2}.\]
(b) Chọn ĐÚNG.
Biến đổi phương trình dao động:
\[x(t) = 10 \sin(50\pi t) \cos(50\pi t) = 5 \sin(100\pi t) = 5 \cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right).\]
Do đó, biên độ dao động của vật là \(A = 5\).
(c) Chọn SAI.
Phương trình dao động tổng hợp \(x = x_1 + x_2\):
\[x = 5 \cos(100\pi t + \pi) + 5 \cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 5 \left[ \cos(100\pi t + \pi) + \cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right) \right]\]
\[= 5 \cdot 2 \cos\left(100\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -5\sqrt{2} \cos\left(100\pi t + \frac{\pi}{4}\right) = 5\sqrt{2} \cos\left(100\pi t - \frac{3\pi}{4}\right) \text{ (cm)}.\]
(d) Chọn ĐÚNG.
Gọi \(\beta\) và \(\beta_1\) lần lượt là góc tạo bởi sợi cáp \(R\) và \(S\) với mặt đất. Theo giả thiết:
\[\tan \beta = \frac{AH}{HO} = \frac{14}{15}, \quad \tan \beta_1 = \frac{BH}{HO} = \frac{12}{15}.\]
Góc \(\alpha\) giữa hai sợi cáp là \(\alpha = \beta - \beta_1\). Do đó:
\[\tan \alpha = \tan(\beta - \beta_1) = \frac{\tan \beta - \tan \beta_1}{1 + \tan \beta \cdot \tan \beta_1} = \frac{\frac{14}{15} - \frac{12}{15}}{1 + \frac{14}{15} \cdot \frac{12}{15}} = \frac{10}{131}.\]
B. Câu hỏi Trả lời ngắn
Câu 20. Cho biểu thức \(P = \cos 5x \cdot \cos 3x - \cos(5x + 90^\circ) \cdot \cos(-3x - 90^\circ)\). Sau khi đơn giản hóa, ta được biểu thức \(P = \cos(ax)\). Giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết Câu 20
Trả lời: 8
Biến đổi biểu thức \(P\) bằng công thức góc liên kết:
\[\cos(5x + 90^\circ) = -\sin 5x\]
\[\cos(-3x - 90^\circ) = \cos(3x + 90^\circ) = -\sin 3x\]
Thay vào biểu thức \(P\), ta được:
\[P = \cos 5x \cdot \cos 3x - (-\sin 5x)(-\sin 3x) = \cos 5x \cdot \cos 3x - \sin 5x \cdot \sin 3x\]
\[= \cos(5x + 3x) = \cos(8x).\]
So sánh với \(P = \cos(ax)\), suy ra \(a = 8\).
