Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp lời giải chi tiết cho các câu hỏi trả lời ngắn thuộc Phần III - Đề thi minh họa Tốt nghiệp THPT năm 20...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp lời giải chi tiết cho các câu hỏi trả lời ngắn thuộc Phần III - Đề thi minh họa Tốt nghiệp THPT năm 2026 môn Toán (Mã đề 0104). Các dạng toán nổi bật bao gồm tính khoảng cách trong không gian bằng phương pháp tọa độ Oxyz, ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay từ bài toán thực tế, và giải bài toán tổ hợp - số học dựa trên tính chất chia hết.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Câu 1: Cho hình lập phương \(ABCD.MNPQ\) có cạnh bằng \(14\). Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Khoảng cách từ điểm \(P\) đến mặt phẳng \((MED)\) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
Lời giải:
Trả lời: 17,1
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó: \(M(0;0;14)\), \(E(7;0;0)\), \(D(0;14;0)\), \(P(14;14;14)\).
Suy ra phương trình mặt phẳng \((MED)\):
\[\frac{x}{7} + \frac{y}{14} + \frac{z}{14} = 1 \iff 2x + y + z - 14 = 0\]Do đó:
\[d(P, (MED)) = \frac{|2 \cdot 14 + 14 + 14 - 14|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = 7\sqrt{6} \approx 17{,}1\]Câu 2: Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và nửa trên của elip \(\frac{x^2}{1{,}5^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1\) (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục \(Ox\); sau đó khoan dọc theo trục xoay.
Lưu ý: các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.
Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính \(0{,}1\text{ cm}\) và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay.
Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Lời giải:
Trả lời: 6,19
Xét phần elip phía trên trục \(Ox\): với \(y = 0{,}1 \Rightarrow x = \pm \frac{9\sqrt{11}}{20}\).
Thể tích của hạt cườm là thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa trên của elip \(\frac{x^2}{1{,}5^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1\) và đường thẳng \(y = 0{,}1\) quanh trục \(Ox\):
\[V = \pi \int_{-\frac{9\sqrt{11}}{20}}^{\frac{9\sqrt{11}}{20}} \left( 1 - \frac{x^2}{1{,}5^2} - 0{,}1^2 \right) \mathrm{d}x \approx 6{,}19 \text{ (cm}^3\text{)}\]
Câu 3: Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp \(\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;11;12;13;16;17;21\}\) vào 15 ô vuông trong hình thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
- Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần.
- Hiệu hai số ở hai ô bất kỳ khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho 5.
- Hiệu hai số ở hai ô bất kỳ khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho 5.
Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi \(H\) là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của \(\frac{H}{10}\) bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Trả lời: 3456
Hiệu hai số khác nhau chia hết cho 5 khi và chỉ khi chúng có cùng số dư khi chia cho 5 nghĩa là không được xếp hai số có cùng số dư khi chia cho 5 vào chung một hàng hoặc chung một cột.
Các số chia cho 5 dư 0 là \(\{5\}\).
Các số chia cho 5 dư 1 là \(\{1;6;11;16;21\}\).
Các số chia cho 5 dư 2 là \(\{2;7;12;17\}\).
Các số chia cho 5 dư 3 là \(\{3;8;13\}\).
Các số chia cho 5 dư 4 là \(\{4;9\}\).
