Tài liệu hướng dẫn giải chi tiết các câu hỏi hoạt động trong bài học về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thuộc chương trình ...
1. Hoạt động 1 (Trang 15 SGK Toán 12 Tập 1)
Cho hàm số \(y = f(x) = x^2 - 2x\) với \(x \in [0; 3]\), có đồ thị như Hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) là bao nhiêu? Tìm \(x\) sao cho \(f(x) = M\).
b) Giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) là bao nhiêu? Tìm \(x\) sao cho \(f(x) = m\).
Lời giải chi tiết:
a) Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn \([0; 3]\), điểm cao nhất của đồ thị là điểm \((3; 3)\). Do đó, giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) bằng \(3\). Điểm đạt giá trị lớn nhất là \(x = 3\), tương ứng \(f(3) = 3\).
b) Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn \([0; 3]\), điểm thấp nhất của đồ thị là đỉnh của parabol có tọa độ \((1; -1)\). Do đó, giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) bằng \(-1\). Điểm đạt giá trị nhỏ nhất là \(x = 1\), tương ứng \(f(1) = -1\).
2. Hoạt động 2 (Trang 17 SGK Toán 12 Tập 1)
Xét hàm số \(y = f(x) = x^3 - 2x^2 + 1\) trên đoạn \([-1; 2]\), với đồ thị như Hình 1.16.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 2]\).
b) Tính đạo hàm \(f'(x)\) và tìm các điểm \(x\) mà \(f'(x) = 0\).
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn \([-1; 2]\) và tại các điểm \(x\) đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với \(m\), số lớn nhất trong các giá trị này với \(M\).
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị hàm số trên đoạn \([-1; 2]\), ta thấy:
- Điểm cao nhất của đồ thị là điểm \((0; 1)\) và điểm \((2; 1)\). Do đó, giá trị lớn nhất \(M = 1\) đạt được khi \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).
- Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm \((-1; -2)\). Do đó, giá trị nhỏ nhất \(m = -2\) đạt được khi \(x = -1\).
b) Tính đạo hàm của hàm số: \(f'(x) = 3x^2 - 4x\).
Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} \end{bmatrix}\]Cả hai điểm này đều thuộc đoạn \([-1; 2]\).
c) Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
- \(f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 1 = -2\)
- \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 1\)
- \(f(0) = 1\)
- \(f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 1 = -\frac{5}{27} \approx -0.185\)
So sánh:
- Số lớn nhất trong các giá trị trên là \(1\), đúng bằng giá trị lớn nhất \(M\) tìm được ở câu a.
- Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là \(-2\), đúng bằng giá trị nhỏ nhất \(m\) tìm được ở câu a.
