Giải Luyện Tập và Vận Dụng Bài 1 Tính Đơn Điệu và Cực Trị Của Hàm Số - SGK Toán 12 KNTT (P2)

Tài liệu tổng hợp lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập Luyện tập, Vận dụng về Cực trị và Tính đơn điệu của hàm số trong chương trì...

Tài liệu tổng hợp lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập Luyện tập, Vận dụng về Cực trị và Tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Toán 12 sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Hướng dẫn chi tiết kỹ năng đọc đồ thị và lập bảng biến thiên xác định cực trị.

1. Luyện tập 4 (Trang 10 - SGK Toán 12 KNTT)

Đề bài: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số, các điểm đỉnh chuyển hướng từ tăng sang giảm là điểm cực đại \(y_{CĐ}\), các điểm đáy chuyển hướng từ giảm sang tăng là điểm cực tiểu \(y_{CT}\).

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f(x)\) trên Hình 1.9, ta xác định được:

• Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((-1; 5)\). Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\) và giá trị cực đại là \(y_{CĐ} = 5\).
• Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \((1; 1)\). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và giá trị cực tiểu là \(y_{CT} = 1\).

2. Luyện tập 5 (Trang 12 - SGK Toán 12 KNTT)

Đề bài: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = x^4 - 3x^2 + 1\)

b) \(y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2}\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = x^4 - 3x^2 + 1\)

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
• Đạo hàm: \(y' = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3)\).
• Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x(2x^2 - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -\frac{\sqrt{6}}{2}\) hoặc \(x = \frac{\sqrt{6}}{2}\).
• Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)	\(-\frac{\sqrt{6}}{2}\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)	\(+\infty\)
\(y'\)	-	0	+	0	-	0	+
\(y\)	\(+\infty\) \(\searrow\)	\(-\frac{5}{4}\)	\(\nearrow\) 1 \(\searrow\)	\(-\frac{5}{4}\)	\(\nearrow\) \(+\infty\)

Kết luận:

• Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -\frac{\sqrt{6}}{2}\) và \(x = \frac{\sqrt{6}}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = -\frac{5}{4}\).
• Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 1\).

b) Hàm số \(y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2}\)

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
• Đạo hàm: \(y' = \frac{(-2x + 2)(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2}\).
• Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = -5\) (thỏa mãn \(x \neq -2\)).
• Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)	\(-5\)	\(-2\)	\(1\)	\(+\infty\)
\(y'\)	-	0	+	||	+	0	-
\(y\)	12 \(\searrow\)	12	\(\nearrow\) || \(\nearrow\)	0	\(\searrow\)

Kết luận:

• Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -5\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = 12\).
• Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 0\).

3. Vận dụng 2 (Trang 12 - SGK Toán 12 KNTT)

Đề bài: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2\text{m}\) với vận tốc ban đầu là \(24,5\text{ m/s}\). Bỏ qua sức cản không khí, độ cao \(h(t)\) (mét) của vật sau \(t\) (giây) được cho bởi công thức: \[h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2\] Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Lời giải:

Xét hàm số \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2\) với \(t \ge 0\).

• Tập xác định: \(D = [0; +\infty)\).
• Đạo hàm: \(h'(t) = 24,5 - 9,8t\).
• Cho \(h'(t) = 0 \Leftrightarrow 24,5 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = 2,5\) (giây) (thỏa mãn \(t \ge 0\)).
• Bảng biến thiên:

\(t\)	\(0\)	\(2,5\)	\(+\infty\)
\(h'(t)\)	+	0	-
\(h(t)\)	2 \(\nearrow\)	32,625	\(\searrow\) \(-\infty\)

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(h(t)\) đạt cực đại tại \(t = 2,5\).

Độ cao cực đại tương ứng là: \[h(2,5) = 2 + 24,5 \cdot 2,5 - 4,9 \cdot (2,5)^2 = 32,625\text{ (mét)}\]

Kết luận: Vật đạt độ cao lớn nhất là \(32,625\text{ mét}\) tại thời điểm \(t = 2,5\) giây kể từ khi được phóng.