Tóm tắt kiến thức: Chủ đề giới thiệu hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với ba trục đôi một vuông góc, định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ v...
I. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, hệ ba trục \(Ox, Oy, Oz\) đôi một vuông góc với nhau tại gốc \(O\) của mỗi trục được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc \(Oxyz\) (hay đơn giản là hệ tọa độ \(Oxyz\)).
- Điểm \(O\) được gọi là gốc tọa độ.
- \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(Ox, Oy, Oz\) với \(|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1\).
- Các mặt phẳng \((Oxy), (Oyz), (Ozx)\) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
II. Tọa độ của điểm và của vectơ
1. Tọa độ của một điểm:
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\) tùy ý. Bộ ba số duy nhất \((x; y; z)\) sao cho \(\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) được gọi là tọa độ của điểm \(M\). Ký hiệu: \(M(x; y; z)\) hoặc \(M = (x; y; z)\).
2. Tọa độ của một vectơ:
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec{a}\) tùy ý. Bộ ba số duy nhất \((x; y; z)\) sao cho \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{a}\). Ký hiệu: \(\vec{a} = (x; y; z)\).
3. Tọa độ vectơ nối hai điểm:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\) và \(B(x_B; y_B; z_B)\). Khi đó:
\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\]
III. Bài tập minh họa SGK
Bài 1: Trong không gian \(Oxyz\), xác định tọa độ của vectơ \(\vec{a}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 5\vec{k}\)
b) \(\vec{a} = -2\vec{j} + 3\vec{k}\)
c) \(\vec{a} = 3\vec{i} - \vec{k}\)
Lời giải:
a) Ta có \(\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 5\vec{k} \Rightarrow \vec{a} = (2; 3; -5)\).
b) Ta có \(\vec{a} = 0\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k} \Rightarrow \vec{a} = (0; -2; 3)\).
c) Ta có \(\vec{a} = 3\vec{i} + 0\vec{j} - 1\vec{k} \Rightarrow \vec{a} = (3; 0; -1)\).
Bài 2: Trong không gian \(Oxyz\), xác định tọa độ của điểm \(A\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(A\) trùng với gốc tọa độ;
b) \(A\) nằm trên tia \(Ox\) và \(OA = 2\);
c) \(A\) nằm trên tia đối của tia \(Oy\) và \(OA = 3\).
Lời giải:
a) \(A\) trùng với gốc tọa độ nên \(A(0; 0; 0)\).
b) Vì \(A\) nằm trên tia \(Ox\) và \(OA = 2\) nên \(\overrightarrow{OA} = 2\vec{i}\). Do đó, \(A(2; 0; 0)\).
c) Vì \(A\) nằm trên tia đối của tia \(Oy\) và \(OA = 3\) nên \(\overrightarrow{OA} = -3\vec{j}\). Do đó, \(A(0; -3; 0)\).
Bài 3: Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đỉnh \(A\) trùng với gốc \(O\) và các đỉnh \(D, B, A'\) có tọa độ lần lượt là \(D(2; 0; 0)\), \(B(0; 4; 0)\), \(A'(0; 0; 3)\). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
Vì \(A\) trùng gốc \(O\) nên \(A(0; 0; 0)\).
- Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = (2; 0; 0) + (0; 4; 0) = (2; 4; 0) \Rightarrow C(2; 4; 0)\).
- Vì \(ABB'A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = (0; 4; 0) + (0; 0; 3) = (0; 4; 3) \Rightarrow B'(0; 4; 3)\).
- Vì \(ADD'A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = (2; 0; 0) + (0; 0; 3) = (2; 0; 3) \Rightarrow D'(2; 0; 3)\).
- Áp dụng quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = (2; 4; 3) \Rightarrow C'(2; 4; 3)\).
