Tóm tắt kiến thức: Trong thống kê ghép nhóm, để đo độ phân tán của mẫu số liệu, hai đại lượng quan trọng thường được sử dụng là khoảng biế...
Tóm tắt kiến thức: Trong thống kê ghép nhóm, để đo độ phân tán của mẫu số liệu, hai đại lượng quan trọng thường được sử dụng là khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Khoảng biến thiên phản ánh độ chênh lệch giữa hai biên cực trị của dữ liệu. Trong khi đó, khoảng tứ phân vị đo độ biến động của 50% số liệu tập trung ở trung tâm, giúp hạn chế ảnh hưởng của các giá trị ngoại lệ (bất thường).
I. Lý thuyết trọng tâm
1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là \(R\), là hiệu số giữa đầu mút trên của nhóm cuối cùng và đầu mút dưới của nhóm đầu tiên.
\[R = a_{k+1} - a_1\]
Ý nghĩa: Mẫu số liệu có khoảng biến thiên càng lớn thì mức độ phân tán của số liệu càng cao.
2. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu \(\Delta_Q\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) và tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\):
\[\Delta_Q = Q_3 - Q_1\]
Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị đại diện cho độ phân tán của 50% số liệu ở chính giữa, do đó ít bị tác động bởi các số liệu bất thường.
II. Bài tập minh họa & Lời giải
Bài toán 1: Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn học sinh lớp 12C được ghi nhận trong bảng sau:
| Thời gian (phút) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) |
|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 8 | 16 | 4 | 2 |
a) Tính khoảng biến thiên \(R\) cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Lời giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = 45 - 25 = 20\) (phút).
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(R_{gốc} = 43 - 27 = 16\) (phút).
Bài toán 2: Một người ghi lại thời gian đàm thoại của các cuộc gọi cho kết quả như sau:
| Thời gian t (phút) | [0; 1) | [1; 2) | [2; 3) | [3; 4) | [4; 5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số cuộc gọi | 8 | 17 | 25 | 20 | 10 |
Hãy tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải:
Cỡ mẫu \(n = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80\).
- Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): Nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([1; 2)\). Ta có:
\[Q_1 = 1 + \frac{\frac{80}{4} - 8}{17} \cdot (2 - 1) = 1 + \frac{12}{17} \approx 1{,}71\]
- Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\): Nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([3; 4)\). Ta có:
\[Q_3 = 3 + \frac{\frac{3 \cdot 80}{4} - (8 + 17 + 25)}{20} \cdot (4 - 3) = 3 + \frac{10}{20} = 3{,}5\]
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\[\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 3{,}5 - 1{,}71 = 1{,}79\]
