Tài liệu bao gồm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết cho đề kiểm tra môn Toán chuẩn bị cho kỳ thi Tốt nghiệp THPT theo cấu trúc định dạng mới....
Tài liệu bao gồm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết cho đề kiểm tra môn Toán chuẩn bị cho kỳ thi Tốt nghiệp THPT theo cấu trúc định dạng mới. Nội dung phủ rộng 3 phần thi trọng tâm: 12 câu trắc nghiệm nhiều phương án, 4 câu trắc nghiệm Đúng/Sai và 6 câu hỏi dạng điền đáp số ngắn thuộc các chủ đề Giải tích, Hình học không gian và Xác suất.
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Chọn D.
Do \(SA \perp (ABCD)\). Lại có đáy \(ABCD\) vuông tại \(B\).
Suy ra \(BC \perp (SAB)\). Kẻ \(AH \perp SB\) tại \(H\), do đó \(AH \perp (SBC)\).
Khoảng cách \(d(A, (SBC)) = AH\). Trong tam giác vuông \(SAB\) tại \(A\):
\[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Do \(SA \perp (ABCD)\). Lại có đáy \(ABCD\) vuông tại \(B\).
Suy ra \(BC \perp (SAB)\). Kẻ \(AH \perp SB\) tại \(H\), do đó \(AH \perp (SBC)\).
Khoảng cách \(d(A, (SBC)) = AH\). Trong tam giác vuông \(SAB\) tại \(A\):
\[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Câu 2. Chọn C.
Ta có đạo hàm \(y' = 3x^2 + 3\).
Vì \(3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y' > 0, \forall x \in \mathbb{R}\).
Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm rời rạc, do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).
Ta có đạo hàm \(y' = 3x^2 + 3\).
Vì \(3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y' > 0, \forall x \in \mathbb{R}\).
Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm rời rạc, do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).
Câu 3. Chọn C.
Gọi \(A, B\) lần lượt là biến cố người đó bắn trúng đích ở lần thứ nhất và lần thứ hai.
Xác suất bắn trượt lần lượt là: \(P(\overline{A}) = 0{,}3\) và \(P(\overline{B}) = 0{,}3\).
Vì hai lần bắn độc lập, xác suất để cả hai lần đều không trúng đích là:
\[P(\overline{A} \cdot \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09\]
Gọi \(A, B\) lần lượt là biến cố người đó bắn trúng đích ở lần thứ nhất và lần thứ hai.
Xác suất bắn trượt lần lượt là: \(P(\overline{A}) = 0{,}3\) và \(P(\overline{B}) = 0{,}3\).
Vì hai lần bắn độc lập, xác suất để cả hai lần đều không trúng đích là:
\[P(\overline{A} \cdot \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09\]
Câu 4. Chọn A.
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy điểm cực đại có tọa độ \((-1; 3)\) và điểm cực tiểu có tọa độ \((1; -1)\).
Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy điểm cực đại có tọa độ \((-1; 3)\) và điểm cực tiểu có tọa độ \((1; -1)\).
Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Câu 5. Chọn D.
Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(BC\). Do \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AH \perp BC\) và \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SH \perp BC\).
Suy ra góc nhị diện \([S, BC, A]\) là góc phẳng \(\widehat{SHA}\).
Xét tam giác vuông \(SHA\) tại \(A\):
\[\tan \widehat{SHA} = \frac{SA}{AH} = \frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 2\]
Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(BC\). Do \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AH \perp BC\) và \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SH \perp BC\).
Suy ra góc nhị diện \([S, BC, A]\) là góc phẳng \(\widehat{SHA}\).
Xét tam giác vuông \(SHA\) tại \(A\):
\[\tan \widehat{SHA} = \frac{SA}{AH} = \frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 2\]
Câu 6. Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm \(x = 2\).
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).
Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm \(x = 2\).
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).
Câu 7. Chọn C.
Ta có: \(\int (2x + \cos x) dx = x^2 + \sin x + C\).
Ta có: \(\int (2x + \cos x) dx = x^2 + \sin x + C\).
Câu 8. Chọn D.
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) có đường chéo \(AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow a = 4\).
Thể tích khối lập phương: \(V = a^3 = 4^3 = 64\).
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) có đường chéo \(AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow a = 4\).
Thể tích khối lập phương: \(V = a^3 = 4^3 = 64\).
Câu 9. Chọn A.
Đạo hàm: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
Xét trên đoạn \([0; 3]\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) (nhận). Tính các giá trị: \(f(0) = 2\), \(f(2) = -2\), \(f(3) = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên \([0; 3]\) là \(2\) tại \(x = 0\) và \(x = 3\).
Đạo hàm: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
Xét trên đoạn \([0; 3]\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) (nhận). Tính các giá trị: \(f(0) = 2\), \(f(2) = -2\), \(f(3) = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên \([0; 3]\) là \(2\) tại \(x = 0\) và \(x = 3\).
Câu 10. Chọn B.
Ta có \(y' = 3x^2 - 4x + 1\). Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0 = 2\) là \(k = y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 5\).
Với \(x_0 = 2 \Rightarrow y_0 = 3\). Phương trình tiếp tuyến: \(y = 5(x - 2) + 3 = 5x - 7\).
Ta có \(y' = 3x^2 - 4x + 1\). Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0 = 2\) là \(k = y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 5\).
Với \(x_0 = 2 \Rightarrow y_0 = 3\). Phương trình tiếp tuyến: \(y = 5(x - 2) + 3 = 5x - 7\).
Câu 11. Chọn A.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Đạo hàm \(y' = \frac{-1}{(x - 1)^2} < 0, \forall x \neq 1\).
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Đạo hàm \(y' = \frac{-1}{(x - 1)^2} < 0, \forall x \neq 1\).
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\).
Câu 12. Chọn A.
Do \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cap B) = 0\).
Áp dụng quy tắc cộng xác suất: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7\).
Do \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cap B) = 0\).
Áp dụng quy tắc cộng xác suất: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7\).
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI
Câu 1.
a) ĐÚNG: Đạo hàm: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
b) ĐÚNG: Trên khoảng \([0; 3]\), phương trình \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên \((0; 2)\) và đồng biến trên \((2; 3)\) nên giá trị nhỏ nhất là \(f(2) = -2\).
c) SAI: Tại điểm \(x = 2\), \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương nên điểm \((2; -2)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (không phải cực đại).
d) ĐÚNG: Điều kiện xác định là mẫu số \(x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\).
a) ĐÚNG: Đạo hàm: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
b) ĐÚNG: Trên khoảng \([0; 3]\), phương trình \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên \((0; 2)\) và đồng biến trên \((2; 3)\) nên giá trị nhỏ nhất là \(f(2) = -2\).
c) SAI: Tại điểm \(x = 2\), \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương nên điểm \((2; -2)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (không phải cực đại).
d) ĐÚNG: Điều kiện xác định là mẫu số \(x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\).
Câu 2.
a) ĐÚNG: Đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật nên diện tích \(S_{ABCD} = a \cdot 2a = 2a^2\).
Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}\).
b) SAI: Ta có \(SA \perp (ABCD)\) và \(CD \perp AD \Rightarrow CD \perp (SAD)\). Kẻ đường cao \(AH \perp SD\) (\(H \in SD\)) \(\Rightarrow AH \perp (SCD)\).
Trong tam giác vuông \(SAD\):
\[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{7}{12a^2} \Rightarrow AH = \frac{2a\sqrt{21}}{7}\]
c) ĐÚNG: Do \(SA \perp AB\) và \(AD \perp AB\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABCD)\) là \(AB\), với \(SA \perp AB\) và \(AD \perp AB\), do đó góc phẳng nhị diện là góc \(\widehat{SAD} = 90^\circ\).
d) ĐÚNG: Vì \(BC \parallel AD\) (\(ABCD\) là hình chữ nhật) và \(AD \subset (SAD)\) (\(BC \not\subset (SAD)\)) nên \(BC \parallel (SAD)\).
a) ĐÚNG: Đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật nên diện tích \(S_{ABCD} = a \cdot 2a = 2a^2\).
Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}\).
b) SAI: Ta có \(SA \perp (ABCD)\) và \(CD \perp AD \Rightarrow CD \perp (SAD)\). Kẻ đường cao \(AH \perp SD\) (\(H \in SD\)) \(\Rightarrow AH \perp (SCD)\).
Trong tam giác vuông \(SAD\):
\[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{7}{12a^2} \Rightarrow AH = \frac{2a\sqrt{21}}{7}\]
c) ĐÚNG: Do \(SA \perp AB\) và \(AD \perp AB\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABCD)\) là \(AB\), với \(SA \perp AB\) và \(AD \perp AB\), do đó góc phẳng nhị diện là góc \(\widehat{SAD} = 90^\circ\).
d) ĐÚNG: Vì \(BC \parallel AD\) (\(ABCD\) là hình chữ nhật) và \(AD \subset (SAD)\) (\(BC \not\subset (SAD)\)) nên \(BC \parallel (SAD)\).
Câu 3.
a) SAI: Không gian mẫu \(n(\Omega) = C_{16}^6 = 8008\). Biến cố đối "chọn 6 bạn toàn nữ" có số cách là \(C_6^6 = 1\). Xác suất có ít nhất 1 bạn nam là: \(P = 1 - \frac{1}{8008} = \frac{8007}{8008}\).
b) ĐÚNG: Chọn 6 bạn bất kì từ tổ gồm 16 học sinh có \(C_{16}^6\) cách, do đó \(n(\Omega) = C_{16}^6 = 8008\).
c) ĐÚNG: Chọn 6 bạn có đúng 2 nữ (và 4 nam) có số cách là \(C_6^2 \cdot C_{10}^4 = 15 \cdot 210 = 3150\).
Xác suất: \(P = \frac{3150}{8008} = \frac{225}{572}\).
d) SAI: Chọn 6 bạn toàn nam có \(C_{10}^6 = 210\) cách. Xác suất là \(P = \frac{210}{8008} = \frac{15}{572}\).
a) SAI: Không gian mẫu \(n(\Omega) = C_{16}^6 = 8008\). Biến cố đối "chọn 6 bạn toàn nữ" có số cách là \(C_6^6 = 1\). Xác suất có ít nhất 1 bạn nam là: \(P = 1 - \frac{1}{8008} = \frac{8007}{8008}\).
b) ĐÚNG: Chọn 6 bạn bất kì từ tổ gồm 16 học sinh có \(C_{16}^6\) cách, do đó \(n(\Omega) = C_{16}^6 = 8008\).
c) ĐÚNG: Chọn 6 bạn có đúng 2 nữ (và 4 nam) có số cách là \(C_6^2 \cdot C_{10}^4 = 15 \cdot 210 = 3150\).
Xác suất: \(P = \frac{3150}{8008} = \frac{225}{572}\).
d) SAI: Chọn 6 bạn toàn nam có \(C_{10}^6 = 210\) cách. Xác suất là \(P = \frac{210}{8008} = \frac{15}{572}\).
Câu 4.
a) ĐÚNG: Vận tốc chuyển động là \(v(t) = s'(t) = 20 - 10t\). Tại thời điểm bắt đầu phanh (\(t = 0\)), tốc độ xe là \(v(0) = 20\text{ m/s}\).
b) SAI: Xe dừng hẳn khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow 20 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 2\text{ s}\). Quãng đường xe đi được sau khi đạp phanh là \(s(2) = 20(2) - 5(2)^2 = 20\text{ m}\). Khoảng cách đến vật cản lúc này là \(30 - 20 = 10\text{ m}\).
c) ĐÚNG: Vận tốc tức thời \(v(t) = 20 - 10t\).
d) SAI: Xe dừng hẳn tại thời điểm \(t = 2\text{ s}\) (không phải \(t = 4\text{ s}\)).
a) ĐÚNG: Vận tốc chuyển động là \(v(t) = s'(t) = 20 - 10t\). Tại thời điểm bắt đầu phanh (\(t = 0\)), tốc độ xe là \(v(0) = 20\text{ m/s}\).
b) SAI: Xe dừng hẳn khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow 20 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 2\text{ s}\). Quãng đường xe đi được sau khi đạp phanh là \(s(2) = 20(2) - 5(2)^2 = 20\text{ m}\). Khoảng cách đến vật cản lúc này là \(30 - 20 = 10\text{ m}\).
c) ĐÚNG: Vận tốc tức thời \(v(t) = 20 - 10t\).
d) SAI: Xe dừng hẳn tại thời điểm \(t = 2\text{ s}\) (không phải \(t = 4\text{ s}\)).
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1.
Gọi \(A\) là tập hợp sinh viên học tiếng Anh, \(B\) là tập hợp sinh viên học tiếng Pháp.
Ta có \(P(A) = 0{,}8\), \(P(B) = 0{,}37\), và số sinh viên học ít nhất một ngôn ngữ là \(P(A \cup B) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Số sinh viên học cả hai ngôn ngữ: \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}8 + 0{,}37 - 0{,}8 = 0{,}37\).
Xác suất cần tìm: \(P(A \cap B) = 0{,}17\).
Đáp số: 0,17
Gọi \(A\) là tập hợp sinh viên học tiếng Anh, \(B\) là tập hợp sinh viên học tiếng Pháp.
Ta có \(P(A) = 0{,}8\), \(P(B) = 0{,}37\), và số sinh viên học ít nhất một ngôn ngữ là \(P(A \cup B) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Số sinh viên học cả hai ngôn ngữ: \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}8 + 0{,}37 - 0{,}8 = 0{,}37\).
Xác suất cần tìm: \(P(A \cap B) = 0{,}17\).
Đáp số: 0,17
Câu 2.
Xét phương trình vận tốc \(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 9t\) (\(t \ge 0\)).
Gia tốc chuyển động là \(a(t) = v'(t) = -6t + 9\).
Vận tốc của vật giảm khi \(a(t) < 0 \Leftrightarrow -6t + 9 < 0 \Leftrightarrow t > 1{,}5\).
Vậy kể từ giây thứ \(1{,}5\) trở đi thì vận tốc của vật bắt đầu giảm.
Đáp số: 1,5
Xét phương trình vận tốc \(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 9t\) (\(t \ge 0\)).
Gia tốc chuyển động là \(a(t) = v'(t) = -6t + 9\).
Vận tốc của vật giảm khi \(a(t) < 0 \Leftrightarrow -6t + 9 < 0 \Leftrightarrow t > 1{,}5\).
Vậy kể từ giây thứ \(1{,}5\) trở đi thì vận tốc của vật bắt đầu giảm.
Đáp số: 1,5
Câu 3.
Đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x - 9\).
Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = 3\).
Vì hệ số của \(x^3\) là \(1 > 0\) nên điểm cực đại là \(x_{CĐ} = -1\), điểm cực tiểu là \(x_{CT} = 3\).
Giá trị biểu thức: \(P = x_{CĐ} - x_{CT} = -1 - 3 = -4\).
Đáp số: -4
Đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x - 9\).
Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = 3\).
Vì hệ số của \(x^3\) là \(1 > 0\) nên điểm cực đại là \(x_{CĐ} = -1\), điểm cực tiểu là \(x_{CT} = 3\).
Giá trị biểu thức: \(P = x_{CĐ} - x_{CT} = -1 - 3 = -4\).
Đáp số: -4
Câu 4.
Đạo hàm: \(f'(x) = 4x^3 - 16x\).
Trên đoạn \([1; 4]\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Tính giá trị tại các điểm mút và điểm dừng:
\(f(1) = 1 - 8(1)^2 + 3 = -4\).
\(f(2) = 16 - 32 + 3 = -13\).
\(f(4) = 256 - 128 + 3 = 131\).
Suy ra \(M = \max_{[1; 4]} f(x) = 131\) và \(m = \min_{[1; 4]} f(x) = -13\).
Tích hai giá trị là: \(M \cdot m = 131 \cdot (-13) = -1703\).
Giá trị cần tính: \(M - 2m = 131 - 2(-13) = 4053\).
Đáp số: 4053
Đạo hàm: \(f'(x) = 4x^3 - 16x\).
Trên đoạn \([1; 4]\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Tính giá trị tại các điểm mút và điểm dừng:
\(f(1) = 1 - 8(1)^2 + 3 = -4\).
\(f(2) = 16 - 32 + 3 = -13\).
\(f(4) = 256 - 128 + 3 = 131\).
Suy ra \(M = \max_{[1; 4]} f(x) = 131\) và \(m = \min_{[1; 4]} f(x) = -13\).
Tích hai giá trị là: \(M \cdot m = 131 \cdot (-13) = -1703\).
Giá trị cần tính: \(M - 2m = 131 - 2(-13) = 4053\).
Đáp số: 4053
Câu 5.
Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt đáy \((ABCD)\).
Trong tam giác vuông \(SAB\) tại \(A\): \(SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt{3}\).
Đáy \(ABCD\) có \(AB = a, AD = 2a\).
Do \(AB \parallel CD\) và \(AB \perp AD\). Kẻ \(CH \perp AD\) (\(H \in AD\)), do đó \(CH = AB = a\).
Xét tam giác vuông \(CHD\): \(HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = a\).
Diện tích hình thang vuông \(ABCD\): \(S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \frac{(a + a\sqrt{2}) \cdot 2a}{2}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA\).
Ta có \(\frac{m}{n} = 5\) (phân số tối giản) \(\Rightarrow m + n = 5\).
Đáp số: 5
Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt đáy \((ABCD)\).
Trong tam giác vuông \(SAB\) tại \(A\): \(SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt{3}\).
Đáy \(ABCD\) có \(AB = a, AD = 2a\).
Do \(AB \parallel CD\) và \(AB \perp AD\). Kẻ \(CH \perp AD\) (\(H \in AD\)), do đó \(CH = AB = a\).
Xét tam giác vuông \(CHD\): \(HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = a\).
Diện tích hình thang vuông \(ABCD\): \(S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \frac{(a + a\sqrt{2}) \cdot 2a}{2}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA\).
Ta có \(\frac{m}{n} = 5\) (phân số tối giản) \(\Rightarrow m + n = 5\).
Đáp số: 5
Câu 6.
Cắt ở bốn góc bốn hình vuông cạnh \(x\) với điều kiện \(0 < x < 4\).
Chiếc hộp tạo thành có kích thước đáy là \(8 - 2x\), \(15 - 2x\) và chiều cao \(x\).
Thể tích khối hộp: \(V(x) = x(8 - 2x)(15 - 2x) = 4x^3 - 46x^2 + 120x\).
Theo bài ra: \(V'(x) = 12x^2 - 92x + 120 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = \frac{5}{3}\).
Đối chiếu điều kiện, ta nhận nghiệm \(x = 2\).
Đáp số: 2
Cắt ở bốn góc bốn hình vuông cạnh \(x\) với điều kiện \(0 < x < 4\).
Chiếc hộp tạo thành có kích thước đáy là \(8 - 2x\), \(15 - 2x\) và chiều cao \(x\).
Thể tích khối hộp: \(V(x) = x(8 - 2x)(15 - 2x) = 4x^3 - 46x^2 + 120x\).
Theo bài ra: \(V'(x) = 12x^2 - 92x + 120 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = \frac{5}{3}\).
Đối chiếu điều kiện, ta nhận nghiệm \(x = 2\).
Đáp số: 2
Tải file word đầy đủ
Xem đề gốc: Khảo sát chất lượng môn Toán 12 năm học 2026 - 2027 trường Tạ Quang Bửu - Hà Nội
