Tóm tắt lý thuyết: Tài liệu trình bày hệ thống lý thuyết nền tảng về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM–GM hay Cauc...
Tóm tắt lý thuyết: Tài liệu trình bày hệ thống lý thuyết nền tảng về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM–GM hay Cauchy), các biến thể phổ biến cho 2 và 3 biến, cùng danh sách các hệ quả đại số bậc hai, bậc bốn hay dùng. Ngoài ra, tài liệu chi tiết hóa chứng minh bổ đề cộng mẫu (dạng Engel) áp dụng trực tiếp từ AM–GM.
A. Kiến thức trọng tâm
Bất đẳng thức AM–GM
Cho \(n\) số thực không âm \(x_1, x_2, \dots, x_n\). Khi đó:
\[\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).
Bất đẳng thức này có tên đầy đủ là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Arithmetic Mean – Geometric Mean, viết tắt là AM–GM). Ở Việt Nam, tên gọi quen thuộc trong sách giáo khoa là bất đẳng thức Cauchy (hay Côsi).
Ba cách viết tương đương thường dùng
- Dạng 1: \(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\)
- Dạng 2: \(x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\)
- Dạng 3: \(\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right)^n \ge x_1 x_2 \dots x_n\)
Hai trường hợp riêng phổ biến
- Với \(n = 2\): \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\) (với \(x, y \ge 0\)), đẳng thức xảy ra khi \(x = y\).
- Với \(n = 3\): \(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{xyz}\) (với \(x, y, z \ge 0\)), đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z\).
B. Các hệ quả thường dùng
Với mọi số thực \(x, y, z\), ta có các đánh giá quen thuộc sau:
- \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)
- \(2(x^2 + y^2) \ge (x + y)^2\)
- \((x + y)^2 \ge 4xy\)
- \(x^2 - xy + y^2 \ge \frac{(x + y)^2}{4}\)
- \(x^2 + xy + y^2 \ge \frac{3(x + y)^2}{4}\)
- \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\)
- \(3(x^2 + y^2 + z^2) \ge (x + y + z)^2\)
- \((x + y + z)^2 \ge 3(xy + yz + zx)\)
- \(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \ge xyz(x + y + z)\)
- \(3(x^4 + y^4 + z^4) \ge (xy + yz + zx)^2\)
- \((xy + yz + zx)^2 \ge 3xyz(x + y + z)\)
- Với \(x, y \ge 0\): \(\sqrt{2(x + y)} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y}\)
Ghi chú: Trong mọi bất đẳng thức trên, dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau. Đối với các bất đẳng thức hai biến, đó đồng thời là điều kiện cần.
C. Bổ đề cộng mẫu (Bất đẳng thức Engel)
Bổ đề 2.1: Với các số dương \(x_1, x_2, \dots, x_n\), ta có:
\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \ge \frac{n^2}{x_1 + x_2 + \dots + x_n}\]
Bất đẳng thức này tương đương với:
\[(x_1 + \dots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n}\right) \ge n^2\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).
Hai trường hợp đặc biệt dùng nhiều nhất
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x + y}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x + y + z}\)
Chứng minh bổ đề cộng mẫu
- Đánh giá từng thừa số: Áp dụng bất đẳng thức AM–GM cho \(n\) số dương ở mỗi thừa số, ta có:
\(x_1 + \dots + x_n \ge n\sqrt[n]{x_1 \dots x_n}\)
\(\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n} \ge \frac{n}{\sqrt[n]{x_1 \dots x_n}}\)
- Nhân theo vế: Do hai bất đẳng thức cùng chiều và có hai vế đều dương nên:
\[(x_1 + \dots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n}\right) \ge n^2\]
- Trở về dạng thứ nhất: Chia hai vế cho \(x_1 + \dots + x_n > 0\), ta thu được điều phải chứng minh.
- Kiểm tra dấu đẳng thức: Dấu đẳng thức ở cả hai đánh giá cùng xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).
Nhận xét: Bổ đề trên chính là dạng Engel của bất đẳng thức Cauchy–Schwarz trong trường hợp các tử số bằng 1.
