Tóm tắt nội dung: Bài viết tổng hợp các dạng toán trọng tâm thuộc Chương 1 Giải tích Toán 12 bao gồm xét tính đơn điệu, tìm cực trị, xác đị...
I. Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập
Bài 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\). Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Nếu \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in (a; b)\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \((a; b)\).
B. Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in (a; b)\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \((a; b)\).
C. Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \((a; b)\) khi và chỉ khi \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in (a; b)\).
D. Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \((a; b)\) khi và chỉ khi \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in (a; b)\).
Lời giải:
Theo định lý về tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\). Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in (a; b)\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng đó.
Chọn B
Bài 2: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = (x - 2)e^x\) trên đoạn \([1; 3]\) là:
A. \(0\)
B. \(e^3\)
C. \(-e\)
D. \(e\)
Lời giải:
Ta có đạo hàm: \(y' = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [1; 3]\).
Tính giá trị hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
\(y(1) = -e\)
\(y(3) = e^3\)
Do đó, \(\max_{[1; 3]} y = e^3\) tại \(x = 3\).
Chọn B
Bài 3: Cho hàm số \(y = f(x)\) thỏa mãn \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\) và \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B. Đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
C. Đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
D. Đường thẳng \(y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lời giải:
Vì \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chọn A
Bài 4: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}\) là đường thẳng:
A. \(y = x + 1\)
B. \(y = -x - 1\)
C. \(y = -x + 1\)
D. \(y = x - 1\)
Lời giải:
Ta phân tích hàm số: \(y = x - 1 + \frac{2}{x - 1}\).
Mặt khác: \(\lim_{x \to \pm\infty} [y - (x - 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x - 1} = 0\).
Do đó, đường thẳng \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chọn D
II. Bài toán ứng dụng thực tế
Bài 5: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách từ C đến B là \(4\text{ km}\). Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là \(10\text{ km}\). Tổng chi phí lắp đặt cho \(1\text{ km}\) dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Lời giải:
Đặt \(BM = x\text{ (km)}\) với \(0 \le x \le 10\). Khi đó \(MA = 10 - x\text{ (km)}\).
Khoảng cách từ C đến M là \(CM = \sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}\text{ (km)}\).
Tổng chi phí lắp đặt \(f(x)\) (đơn vị: triệu đồng) là: \[f(x) = 50\sqrt{x^2 + 16} + 30(10 - x)\]
Xét hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([0; 10]\):
\(f'(x) = \frac{50x}{\sqrt{x^2 + 16}} - 30\)
Cho \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 50x = 30\sqrt{x^2 + 16} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^2 + 16} \Leftrightarrow 25x^2 = 9(x^2 + 16)\)
\(\Leftrightarrow 16x^2 = 144 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\text{ (do } x \ge 0)\).
Tính giá trị chi phí tại các điểm đặc biệt:
\(f(0) = 50 \cdot 4 + 300 = 500\) triệu đồng.
\(f(3) = 50 \cdot 5 + 30 \cdot 7 = 460\) triệu đồng.
\(f(10) = 50\sqrt{116} \approx 538,5\) triệu đồng.
Vậy chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi điểm M nằm trên đoạn AB và cách B một khoảng \(3\text{ km}\).
