Tóm tắt kiến thức: Phương sai \(S^2\) và độ lệch chuẩn \(s\) là hai chỉ số đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bì...
Tóm tắt kiến thức: Phương sai \(S^2\) và độ lệch chuẩn \(s\) là hai chỉ số đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình. Giá trị của phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng có độ biến động cao và ngược lại.
I. Lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(S^2\), công thức tính như sau:
\[S^2 = \frac{1}{n} \left[ n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \bar{x})^2 \right]\]
Trong đó, \(n = n_1 + n_2 + \dots + n_k\) là tổng số mẫu, \(x_i\) là giá trị đại diện của nhóm \(i\), và \(\bar{x}\) là số trung bình.
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai: \(s = \sqrt{S^2}\).
II. Bài tập minh họa và Lời giải
Luyện tập 1: Thời gian chạy cự li 100m của một vận động viên được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:
| Thời gian (giây) | [10,2; 10,4) | [10,4; 10,6) | [10,6; 10,8) | [10,8; 11) |
|---|---|---|---|---|
| Số lần chạy | 3 | 7 | 8 | 2 |
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên và rút ra nhận xét.
Lời giải:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm: \(x_1 = 10,3\); \(x_2 = 10,5\); \(x_3 = 10,7\); \(x_4 = 10,9\).
Tổng số lần chạy: \(n = 3 + 7 + 8 + 2 = 20\).
Thời gian chạy trung bình:
\[\bar{x} = \frac{3 \cdot 10,3 + 7 \cdot 10,5 + 8 \cdot 10,7 + 2 \cdot 10,9}{20} = 10,6 \text{ (giây)}\]
Phương sai của mẫu số liệu:
\[S^2 = \frac{3(10,3 - 10,6)^2 + 7(10,5 - 10,6)^2 + 8(10,7 - 10,6)^2 + 2(10,9 - 10,6)^2}{20} = 0,028\]
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt{0,028} \approx 0,167\) (giây).
Nhận xét: Phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy thời gian luyện tập của vận động viên khá đồng đều và ít phân tán quanh giá trị trung bình.
Bài tập 2: Thời gian chạy tập luyện cự li 100m của hai vận động viên A và B được cho như sau:
| Thời gian (giây) | [10; 10,3) | [10,3; 10,6) | [10,6; 10,9) | [10,9; 11,2) |
|---|---|---|---|---|
| Số lần chạy của A | 2 | 10 | 5 | 3 |
| Số lần chạy của B | 3 | 7 | 9 | 6 |
Dựa vào độ lệch chuẩn, hãy đánh giá vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.
Lời giải:
Giá trị đại diện lần lượt là \(10,15; 10,45; 10,75; 11,05\).
Đối với vận động viên A: Thời gian trung bình \(\bar{x}_A = 10,555\) giây; Phương sai \(S_A^2 \approx 0,076875\); Độ lệch chuẩn \(s_A \approx 0,277\) giây.
Đối với vận động viên B: Thời gian trung bình \(\bar{x}_B = 10,675\) giây; Phương sai \(S_B^2 \approx 0,089375\); Độ lệch chuẩn \(s_B \approx 0,299\) giây.
Kết luận: Do \(s_A < s_B\), vận động viên A có kết quả chạy ổn định hơn so với vận động viên B.
