Tổng hợp lý thuyết trọng tâm về phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz: các dạng phương trình tham số và chính tắc, vectơ chỉ phương,...
Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian. Vị trí tương đối trong không gian
Phương pháp: Trong không gian \(Oxyz\), vectơ \(\vec{u} = (a; b; c) \neq \vec{0}\) là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta\) thì vectơ \(\vec{m} = k\vec{u}\) (với \(k \neq 0\)) cũng là một VTCP của \(\Delta\).
Phương trình tham số của \(\Delta\):
\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
Có vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (a; b; c)\) (các hệ số đứng trước tham số \(t\)).
Phương trình chính tắc của \(\Delta\):
\[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\]
Có vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (a; b; c)\) (các hệ số nằm ở dưới mẫu).
Nhận xét: Với phương trình tham số lấy đúng thứ tự hệ số trước \(t\); với phương trình chính tắc lấy hệ số dưới mẫu. Nếu giả thiết chưa cho đúng cấu trúc chuẩn, ta cần biến đổi lại trước khi xác định tọa độ VTCP.
Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một vectơ chỉ phương
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (a; b; c)\). Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta\) là:
Dạng tham số: \(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\)
Hoặc dạng chính tắc (nếu \(\{a; b; c\} \neq 0\)): \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\)
Chú ý: Nếu phương trình tìm được không nằm trong các phương án đáp án, ta có thể thử thay tọa độ điểm thuộc đường thẳng vào để kiểm tra.
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian \(Oxyz\), để viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\):
- Chọn điểm \(A\) hoặc \(B\) làm điểm mà \(\Delta\) đi qua.
- Nhận vectơ \(\vec{AB}\) làm VTCP: \(\vec{u} = \vec{AB}\).
Lưu ý: Phương trình tìm được nếu không khớp phương án cho sẵn, có thể thay tọa độ điểm đi qua để kiểm tra lại.
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha): Ax + By + Cz + D = 0\) và \((\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0\):
- Cho 1 trong 3 ẩn \(x; y; z = 0\) để giải hệ hai ẩn còn lại tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng (ví dụ cho \(x = 0 \Rightarrow M(0; y_0; z_0)\)).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng: \(\vec{u} = [\vec{n}_\alpha, \vec{n}_\beta]\).
Dạng 5. Góc và khoảng cách trong không gian
1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \Delta_2\) lần lượt có các VTCP \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)\) và \(\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\):
\[\cos(\Delta_1, \Delta_2) = |\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)| = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\vec{u} = (a; b; c)\) và mặt phẳng \((P)\) có VTPT \(\vec{n} = (A; B; C)\):
\[\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
3. Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng \((P_1), (P_2)\) lần lượt có các VTPT \(\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)\) và \(\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)\):
\[\cos((P_1), (P_2)) = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\]
4. Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\) và \(B(x_B; y_B; z_B)\):
\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \((\alpha): Ax + By + Cz + D = 0\):
\[d(M_0, (\alpha)) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
