Tài liệu tổng hợp các bất đẳng thức kinh điển và bổ đề trọng tâm thường được ứng dụng trong các bài toán đại số nâng cao. Nội dung bao gồm ...
SỔ TAY BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ BỔ ĐỀ
Các kết quả dưới đây được dùng lại nhiều lần trong sách. Nếu không nói gì thêm, các biến được hiểu là số thực dương. Mỗi hộp có kèm chỉ dẫn tới nơi kết quả được phát biểu và chứng minh trong thân sách.
1. Bất đẳng thức AM–GM
Với mọi số thực không âm \(a_1, a_2, \dots, a_n\) ta có
\[ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a_1 = a_2 = \dots = a_n\).
• Xem thêm: Phát biểu, các hệ quả thường dùng và quy trình bốn bước của kỹ thuật điểm rơi; Các lược đồ tách, ghép và thêm bớt.
2. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz
Với hai bộ số thực \(a_1, \dots, a_n\) và \(b_1, \dots, b_n\) ta có
\[ (a_1^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + \dots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + \dots + a_nb_n)^2 \]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại hai số thực \(\lambda, \mu\) không đồng thời bằng 0 sao cho \(\lambda a_i = \mu b_i\) với mọi \(i = 1, 2, \dots, n\). Phát biểu này gồm cả trường hợp một trong hai bộ có tất cả các số hạng bằng 0, khi đó hai vế cùng bằng 0. Nếu tất cả \(b_i\) đều khác 0 thì điều kiện trên tương đương với dãy tỉ số
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} \]
còn nếu có một \(b_i\) bằng 0 thì dãy tỉ số vô nghĩa, phải dùng dạng phụ thuộc tuyến tính.
Dạng cộng mẫu (dạng Engel): với \(y_i > 0\),
\[ \frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \ge \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2}{y_1 + y_2 + \dots + y_n} \]
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_n}{y_n}\). Ở dạng này mọi mẫu số đều dương theo giả thiết, nên dãy tỉ số vừa viết có nghĩa.
3. Bất đẳng thức Schur
Với mọi số thực không âm \(a, b, c\) và mọi số thực \(t > 0\),
\[ a^t(a - b)(a - c) + b^t(b - a)(b - c) + c^t(c - a)(c - b) \ge 0 \]
Trường hợp \(t = 1\) được dùng nhiều nhất. Khai triển ra, nó tương đương với
\[ a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \]
và theo bộ ba \(p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc\) thì tương đương với
\[ p^3 + 9r \ge 4pq \]
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\), hoặc khi hai trong ba số bằng nhau và số còn lại bằng 0.
• Xem thêm: Chứng minh, dạng \(p, q, r\) và miền biến thiên của \(r\) khi cố định \(p, q\).
4. Các hằng bất đẳng thức cơ sở
Điều kiện của các biến và điều kiện xảy ra dấu đẳng thức khác nhau theo từng dòng, cần phân biệt: hai bất đẳng thức đầu chỉ liên quan tới hai biến nên chỉ đòi hỏi \(a = b\).
• Hai biến, đúng với mọi số thực \(a, b\):
\[ a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a + b)^2 \ge 4ab \]
Cả hai có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b\); ở đây không có mặt biến thứ ba.
• Ba biến, đúng với mọi số thực \(a, b, c\):
\[ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca, \quad (a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca) \]
\[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2 \]
Cả ba có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b = c\).
• Ba biến dương \(a, b, c > 0\):
\[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9, \quad \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \ge \frac{3}{2} \]
Cả hai có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b = c\). Giả thiết các biến dương không bỏ được: bộ \(a = b = 1, c = -1\) làm vế trái của bất đẳng thức thứ nhất bằng 1, còn bộ \(a = b = 1, c = -3\) làm vế trái của bất đẳng thức thứ hai bằng \(-\frac{5}{2}\).
• Xem thêm: Bổ đề Các hằng bất đẳng thức nền và Bổ đề Hai đánh giá về nghịch đảo. Bất đẳng thức cuối là bất đẳng thức Nesbitt, được chứng minh bằng năm kỹ thuật khác nhau.
