Bài viết tổng hợp chi tiết toàn bộ lý thuyết nền tảng về Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân. Nội dung bao gồm định nghĩa dãy số vô hạn, dãy...
BÀI 1. DÃY SỐ
1. Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 3.1 (Dãy số vô hạn): Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), ký hiệu \(u = u(n)\).
Ta thường viết \(u_n\) thay cho \(u(n)\) và ký hiệu dãy số \(u = u(n)\) bởi \((u_n)\). Dạng khai triển: \(u_1, u_2, \dots, u_n, \dots\)
- \(u_1\): Số hạng đầu.
- \(u_n\): Số hạng thứ \(n\) (số hạng tổng quát).
Định nghĩa 3.2 (Dãy số hữu hạn): Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập \(M = \{1, 2, 3, \dots, m\}\) với \(m \in \mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển: \(u_1, u_2, \dots, u_m\). Trong đó \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_m\) là số hạng cuối.
2. Các cách cho một dãy số
- Liệt kê các số hạng.
- Công thức số hạng tổng quát.
- Phương pháp mô tả.
- Phương pháp truy hồi.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Định nghĩa 3.3:
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu \(u_{n+1} > u_n\), với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu \(u_{n+1} < u_n\), với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Lưu ý: Một dãy số có thể không tăng cũng không giảm.
Định nghĩa 3.4:
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số \(M\) sao cho \(u_n \le M\), với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số \(m\) sao cho \(u_n \ge m\), với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại \(m, M\) sao cho \(m \le u_n \le M\), với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số \((u_n)\) được gọi là cấp số cộng nếu \(u_{n+1} = u_n + d\), với \(n \in \mathbb{N}^*\), \(d \in \mathbb{R}\). Trong đó, \(d = u_{n+1} - u_n\) được gọi là công sai.
Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + (n - 1)d\), với \(n \ge 2\).
Tính chất: \(u_{k+1} + u_{k-1} = 2u_k\), với \(k \ge 2\). Do đó, điều kiện để ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số cộng theo đúng thứ tự đó là \(\frac{a + c}{2} = b\).
Tổng \(n\) số hạng đầu:
\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}, \quad \text{với } n \in \mathbb{N}^*\]
2. Cấp số nhân
Định nghĩa: Dãy số \((u_n)\) được gọi là cấp số nhân nếu \(u_{n+1} = u_n \cdot q\), với \(n \in \mathbb{N}^*\), \(q \in \mathbb{R}\). Trong đó, \(q = \frac{u_{n+1}}{u_n}\) được gọi là công bội.
Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\), với \(n \ge 2\).
