Tài liệu tóm tắt lý thuyết và tuyển chọn các câu hỏi trắc nghiệm Đúng - Sai chuyên đề Hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \neq ...
Dạng 1: Các tính chất cơ bản của hàm số bậc ba
Câu 1: Cho hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \neq 0\)) có đồ thị là \((C)\). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Đồ thị \((C)\) luôn có đúng một điểm uốn làm tâm đối xứng.
b) Đồ thị hàm số luôn có \(2\) điểm cực trị.
c) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành \(Ox\) tại ít nhất một điểm.
d) Điều kiện để hàm số có cực trị là \(b^2 - 3ac > 0\).
Lời giải:
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
|---|
a) Đúng. Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn \(I\left(-\frac{b}{3a}; y\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)\) làm tâm đối xứng.
b) Sai. Hàm số bậc ba có \(2\) điểm cực trị khi \(y' = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt, hoặc không có cực trị nào khi \(y' = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
c) Đúng. Vì hàm số bậc ba liên tục trên \(\mathbb{R}\) và giới hạn ở hai cực vô cùng trái dấu nên đồ thị luôn cắt \(Ox\) tại ít nhất \(1\) điểm.
d) Đúng. Ta có \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\). Biểu thức \(\Delta'_{y'} = b^2 - 3ac\). Để hàm số có 2 điểm cực trị thì \(\Delta'_{y'} > 0\).
Dạng 2: Khảo sát hàm số cụ thể và sự tương giao
Câu 2: Cho hàm số \(y = -x^3 - 3x^2 + 4\) có đồ thị \((C)\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:
a) Đồ thị \((C)\) cắt trục tung tại điểm \(M(0; 4)\).
b) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \((-2; 0)\).
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2; 0)\).
d) Phương trình \(|-x^3 - 3x^2 + 4| = m\) có \(6\) nghiệm phân biệt khi \(0 < m < 4\).
Lời giải:
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
|---|
a) Đúng. Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4\), đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm \((0; 4)\).
b) Đúng. Ta có \(y' = -3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -2\). Giá trị \(y(-2) = 0\) là giá trị cực tiểu.
c) Sai. Trong khoảng \((-2; 0)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
d) Đúng. Đồ thị hàm số \(y = |-x^3 - 3x^2 + 4|\) được lấy bằng cách giữ nguyên phần trên \(Ox\) và lấy đối xứng phần dưới \(Ox\) qua trục \(Ox\). Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị tại \(6\) điểm phân biệt khi \(0 < m < 4\).
Dạng 3: Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba
Câu 3: Cho hàm số \(y = x^3 - 3x + 2\) có đồ thị \((C)\). Xét các mệnh đề sau:
a) Đồ thị \((C)\) có điểm đối xứng là \(I(0; 2)\).
b) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = 3\) đi qua điểm \(A(1; 6)\).
c) Tiếp tuyến của \((C)\) có hệ số góc nhỏ nhất là \(y = -3x + 2\).
d) Phương trình \(|x|^3 - 3x^2 + 2 = m\) có \(4\) nghiệm phân biệt khi \(-2 < m < 2\).
Lời giải:
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
|---|
a) Đúng. Hoành độ điểm uốn là nghiệm của \(y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2\).
b) Sai. Ta có \(y'(3) = 24\), \(y(3) = 20\). Phương trình tiếp tuyến là \(y = 24(x - 3) + 20 = 24x - 52\). Thay tọa độ \(A(1; 6)\) vào thấy không thỏa mãn.
c) Đúng. Hệ số góc \(k = y'(x) = 3x^2 - 3 \ge -3\). Đạt nhỏ nhất tại \(x = 0 \Rightarrow y = 2\). Phương trình tiếp tuyến là \(y = -3x + 2\).
d) Sai. Xét đồ thị hàm số \(y = |x|^3 - 3x^2 + 2\), đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị tại \(4\) điểm phân biệt khi \(-2 < m < 2\) và \(m \neq 0\).
