Tóm tắt nội dung: Tài liệu trình bày các phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức nhiều biến, bao gồm kỹ thuật dồn biến về hàm m...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu trình bày các phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức nhiều biến, bao gồm kỹ thuật dồn biến về hàm một biến và phương pháp tiếp tuyến (kỹ thuật U.C.T). Nội dung cung cấp lý thuyết trọng tâm, các bổ đề quan trọng cùng quy trình giải chi tiết giúp tối ưu hóa lời giải bài toán cực trị trong kỳ thi môn Toán.
Chương 10. Ứng dụng đạo hàm: Phương pháp tiếp tuyến và dồn biến
Đưa bất đẳng thức nhiều biến về một biến rồi khảo sát hàm số; phương pháp tiếp tuyến như trường hợp tuyến tính của kỹ thuật U.C.T; kỹ thuật dồn hai biến bằng nhau và bước đầu làm quen với nhân tử Lagrange.
Các chương trước sử dụng những công cụ thuần tuý đại số. Chương này bổ sung một công cụ mạnh hơn, thuộc chương trình lớp 11 và lớp 12: đạo hàm và bảng biến thiên. Tư tưởng chung gồm hai bước. Bước thứ nhất là dồn biến: bằng một đánh giá trung gian hoặc một phép đổi biến thích hợp, ta đưa biểu thức nhiều biến về một hàm số chỉ còn phụ thuộc một biến \(t\), đồng thời xác định thật chính xác miền biến thiên của \(t\). Bước thứ hai là khảo sát hàm một biến đó bằng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.
Một biến thể quan trọng của tư tưởng trên là phương pháp tiếp tuyến: thay vì dồn về một biến, ta đánh giá riêng từng số hạng bởi một hàm bậc nhất, cụ thể là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm rơi. Phương pháp này chính là kỹ thuật U.C.T đã trình bày ở Chương 7, với hàm trung gian được chọn là hàm bậc nhất, và đạo hàm cho ta cách chọn hàm đó một cách hoàn toàn tự động.
Phần cuối chương giới thiệu ở mức đọc hiểu phương pháp nhân tử Lagrange. Ở đây ta chỉ dùng nó như một công cụ dự đoán điểm rơi, còn phần chứng minh vẫn được viết bằng các bất đẳng thức sơ cấp đã học.
A. Kiến thức trọng tâm
Khảo sát hàm một biến trên một miền cho trước
Cho hàm số \(f\) liên tục trên đoạn \([\alpha; \beta]\). Khi đó \(f\) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên \([\alpha; \beta]\); các giá trị đó chỉ có thể đạt tại một trong hai đầu mút \(\alpha, \beta\), hoặc tại một điểm \(t_0 \in (\alpha; \beta)\) mà \(f'(t_0) = 0\) hoặc \(f\) không có đạo hàm tại \(t_0\).
Nếu \(f\) liên tục trên một khoảng và có đúng một điểm dừng \(t_0\), đồng thời \(f'\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(t\) vượt qua \(t_0\), thì \(f(t) \ge f(t_0)\) trên toàn khoảng đó.
Trong thực hành, quy trình gồm ba bước:
- Chặn về một đại lượng: Dùng một đánh giá trung gian (thường là bất đẳng thức AM–GM hoặc bất đẳng thức Cauchy–Schwarz) để chặn biểu thức đã cho bởi một biểu thức chỉ phụ thuộc một đại lượng \(t\).
- Xác định miền biến thiên: Xác định chính xác miền biến thiên của \(t\). Đây là bước thường bị bỏ qua: nếu lấy miền rộng hơn thực tế thì kết quả khảo sát có thể không đạt được, còn nếu lấy miền hẹp hơn thì lời giải không còn đúng.
- Khảo sát hàm một biến: Khảo sát hàm một biến trên miền vừa tìm, rồi đối chiếu điều kiện để mọi dấu đẳng thức trung gian cùng xảy ra.
Phương pháp tiếp tuyến
Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(I\) và \(x_0 \in I\). Đường thẳng \[d : y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\] là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ \(x_0\). Nếu \(f\) lồi trên \(I\), chẳng hạn khi \(f''(x) \ge 0\) với mọi \(x \in I\), thì đồ thị nằm phía trên tiếp tuyến: \[f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \quad \text{với mọi } x \in I.\]
Nếu \(f\) lõm trên \(I\), chẳng hạn khi \(f''(x) \le 0\) với mọi \(x \in I\), thì bất đẳng thức trên đổi chiều. Ngoài hai trường hợp ấy, đồ thị không nhất thiết nằm hẳn về một phía của \(d\); khi đó bất đẳng thức phụ \(f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) phải được chứng minh trực tiếp trên đúng miền mà các biến có thể nhận. Điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra cũng phải kiểm tra riêng cho từng bài: dấu đẳng thức luôn xảy ra tại \(x = x_0\), nhưng có thể còn xảy ra tại những điểm khác nữa.
Bổ đề 10.1 (Bổ đề tiếp tuyến cho tổng). Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(I\), cho \(x_0 \in I\) và đặt \(k = f'(x_0)\), \(m = f(x_0) - k x_0\). Giả sử \[f(x) \ge k x + m \quad \text{với mọi } x \in I.\] Khi đó, với mọi \(x_1, x_2, \dots, x_n \in I\) thoả mãn \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = S\), ta có \[f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n) \ge k S + n m.\] Đặc biệt, nếu \(S = n x_0\) thì \(f(x_1) + \dots + f(x_n) \ge n f(x_0)\); nếu thêm nữa dấu đẳng thức trong \(f(x) \ge k x + m\) chỉ xảy ra tại \(x = x_0\) thì dấu đẳng thức của bất đẳng thức tổng xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n = x_0\).
Nếu thay giả thiết bởi \(f(x) \le k x + m\) trên \(I\) thì mọi bất đẳng thức ở kết luận đổi chiều; chứng minh giữ nguyên.
Chứng minh: Cộng \(n\) bất đẳng thức \(f(x_i) \ge k x_i + m\) theo \(i = 1, 2, \dots, n\) ta được ngay \(\sum f(x_i) \ge k \sum x_i + n m = k S + n m\). Khi \(S = n x_0\) thì \(k S + n m = n(k x_0 + m) = n f(x_0)\).
\[f(x) \ge k x + m \quad (x \in I) \implies f(x_1) + \dots + f(x_n) \ge k S + n m.\]
Bổ đề trên chỉ ra ba việc phải làm khi dùng phương pháp tiếp tuyến:
- Dự đoán điểm rơi: Với ràng buộc \(x_1 + \dots + x_n = S\) và biểu thức đối xứng, điểm rơi thường là \(x_0 = S / n\).
- Viết phương trình tiếp tuyến: Lập tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\); đạo hàm cho ngay hệ số \(k = f'(x_0)\).
- Chứng minh bất đẳng thức phụ: Phải chứng minh \(f(x) \ge k x + m\) trên toàn miền mà các biến có thể nhận. Đây là mấu chốt: hàm số \(h(x) = f(x) - (k x + m)\) thoả mãn \(h(x_0) = 0\) và \(h'(x_0) = 0\).
- Tách nhân tử nghiệm kép: Cụ thể, với các hàm hữu tỉ thường gặp trong chương này, sau khi quy đồng thì tử số nhận \(x_0\) làm nghiệm bội không nhỏ hơn 2, nên tách được nhân tử \((x - x_0)^2\); với hàm...
