Tóm tắt nội dung: Chuyên đề tuyển chọn các bài toán ứng dụng thực tế điển hình của Cấp số nhân trong chương trình Toán 11, bao gồm: bài to...
Tóm tắt nội dung: Chuyên đề tuyển chọn các bài toán ứng dụng thực tế điển hình của Cấp số nhân trong chương trình Toán 11, bao gồm: bài toán tăng trưởng sinh học, bài toán tính lãi kép ngân hàng, bài toán tăng giá hàng hóa, bài toán dự báo dân số và bài toán vay mua nhà trả góp có lời giải chi tiết.
Dạng 7. Bài toán thực tế liên quan cấp số nhân
Ví dụ 7.1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là \(4.10^5\text{ m}^3\). Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là \(4\%\) mỗi năm. Hỏi sau \(5\) năm, khu rừng sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
Lời giải
Đặt \(u_0 = 4.10^5\) và \(r = 4\% = 0{,}04\). Gọi \(u_n\) là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ \(n\).
Khi đó ta có: \[u_{n+1} = u_n + u_n r = u_n(1 + r),\quad n \in \mathbb{N}\]
Suy ra \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \(u_0\) và công bội là \(q = 1 + r\).
Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân \((u_n)\) là: \[u_n = u_0(1 + r)^n,\quad n \in \mathbb{N}\]
Vậy sau \(5\) năm, khu rừng sẽ có:
\[u_5 = u_0(1 + r)^5 = 4.10^5.(1 + 0{,}04)^5 = 4.(10{,}4)^5\text{ mét khối gỗ.}\]
Ví dụ 7.2. Một người gửi số tiền \(100\) triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(7\%/\text{năm}\). Biết rằng, nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau \(10\) năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?
Lời giải
Đặt \(M_0 = 10^8\) (đồng) và \(r = 7\% = 0{,}07\).
Gọi \(M_n\) là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau \(n\) năm.
Theo giả thiết, ta có: \[M_{n+1} = M_n + M_n.r = M_n(1 + r),\quad \forall n \ge 1\]
Do đó dãy số \((M_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(M_0\) và công bội \(q = 1 + r\). Suy ra: \[M_n = M_0(1 + r)^n\]
Vì vậy, sau \(10\) năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là:
\[M_{10} = M_0(1 + r)^{10} = 10^8.(1{,}07)^{10} \approx 196\,715\,000\text{ (đồng).}\]
Ví dụ 7.3. Một người gửi ngân hàng \(150\) triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất \(0{,}58\%\) một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có \(180\) triệu đồng?
Lời giải
Theo ví dụ trên, thì sau \(n\) tháng gửi tiết kiệm, ta có \(M_n = M_0(1 + r)^n\), trong đó:
\[M_0 = 15.10^7,\quad r = 0{,}0058\]
Do đó: \[M_n = 15.10^7.(1{,}0058)^n\]
Theo giả thiết, ta có \(M_n = 18.10^7\) (đồng).
Do đó, ta có: \[18.10^7 = 15.10^7.(1{,}0058)^n \iff (1{,}0058)^n = \frac{6}{5}\]
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được \(n \approx \log\left(\frac{6}{5}\right) : \log(1{,}0058)\) hay \(n \approx 31{,}562\). Do đó \(n = 32\).
Ví dụ 7.4. Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng \(A\) với giá \(100\) (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng \(A\) lên \(10\%\). Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên \(10\%\). Hỏi giá của mặt hàng \(A\) của cửa hàng sau hai lần tăng giá là bao nhiêu?
Lời giải
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng \(A\) là: \[M_1 = 100 + 100.10\% = 110\]
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng \(A\) là: \[M_2 = 110 + 110.10\% = 121\]
Ví dụ 7.5. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh \(M\) là \(1{,}2\%\). Biết rằng số dân của tỉnh \(M\) hiện nay là \(2\) triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau \(9\) năm nữa số dân của tỉnh \(M\) sẽ là bao nhiêu?
Lời giải
Đặt \(P_0 = 2\,000\,000 = 2.10^6\) và \(r = 1{,}2\% = 0{,}012\).
Gọi \(P_n\) là số dân của tỉnh \(M\) sau \(n\) năm nữa.
Ta có: \[P_{n+1} = P_n + P_n.r = P_n(1 + r)\]
Suy ra \((P_n)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \(P_0\) và công bội \(q = 1 + r\).
Do đó số dân của tỉnh \(M\) sau \(9\) năm nữa là:
\[P_9 = P_0(1 + r)^9 = 2.10^6.(1{,}012)^9 \approx 2\,227\,000\text{ (người).}\]
Ví dụ 7.6. Anh An mua nhà trị giá \(500\) triệu đồng theo phương thức trả góp:
⑴ Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh An trả \(6\,000\,000\) đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là \(0{,}5\%/\text{tháng}\) thì sau bao lâu anh An trả hết số tiền trên?
⑵ Nếu anh An muốn trả hết nợ trong \(3\) năm và phải trả lãi với mức \(6\%/\text{năm}\) thì mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền? (Làm tròn đến nghìn đồng).
Lời giải
⑴ Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh An trả \(6\,000\,000\) và chịu lãi số tiền chưa trả là \(0{,}5\%/\text{tháng}\) thì sau bao lâu anh An trả hết số tiền trên?
Ta có: \[6\,000\,000 = \frac{500.10^6 . 0{,}005 . (1{,}005)^n}{(1{,}005)^n - 1}\]
Suy ra \((1{,}005)^n = 1{,}714\). Do đó \(n \approx 108{,}04\).
Vậy sau \(108\) tháng anh An sẽ trả hết số tiền trên.
⑵ Nếu anh An muốn trả hết nợ trong \(3\) năm và phải trả lãi với mức \(6\%/\text{năm}\) thì mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền? (Làm tròn đến nghìn đồng).
