Tài liệu tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm Cấp số nhân Toán 11 SGK Mới. Nội dung bao gồm các bài toán cấp số nhân lùi vô hạn, ứng dụng hìn...
I. Các bài toán Cấp số nhân lùi vô hạn và Ứng dụng
Câu 47. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\) biết \(u_1 = 1\) và \(u_1, u_3, u_4\) theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng.
A. \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
C. \(\frac{1}{\sqrt{5}-1}\)
D. \(2\)
Lời giải:
Chọn B
\((u_n)\) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q\), suy ra \(|q| < 1\) và \(u_3 = u_1 q^2 = q^2\), \(u_4 = u_1 q^3 = q^3\).
Vì \(u_1, u_3, u_4\) theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng nên \(u_1 + u_4 = 2u_3\).
Từ đó ta có:
\[1 + q^3 = 2q^2 \Leftrightarrow q^3 - 2q^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow (q-1)(q^2 - q - 1) = 0 \Leftrightarrow q^2 - q - 1 = 0\]
Giải phương trình ta được:
\[\begin{bmatrix} q = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ (loại vì } |q| \ge 1) \\ q = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \text{ (thỏa mãn)} \end{bmatrix}\]
Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
\[S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\]
Câu 48. Người ta thiết kế một cái tháp 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp. Tính diện tích mặt trên cùng, biết diện tích đế tháp là \(12288\text{ m}^2\).
A. \(8\text{ m}^2\)
B. \(6\text{ m}^2\)
C. \(10\text{ m}^2\)
D. \(12\text{ m}^2\)
Lời giải:
Chọn B
Gọi \(a_0, a_1, a_2, ..., a_{11}\) lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2, ..., tầng 11.
Khi đó ta có: \(a_0 = 12288\); \(a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} = a_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n\) với \(n = 1, 2, ..., 11\).
Diện tích mặt trên tầng trên cùng là:
\[a_{11} = a_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{11} = 12288 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{11} = 6\text{ (m}^2\text{)}\]
Câu 49. Một hình vuông \(ABCD\) có cạnh \(AB = a\), diện tích \(S_1\). Nối 4 trung điểm \(A_1, B_1, C_1, D_1\) theo thứ tự của 4 cạnh \(AB, BC, CD, DA\) ta được hình vuông thứ hai là \(A_1B_1C_1D_1\) có diện tích \(S_2\). Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba \(A_2B_2C_2D_2\) có diện tích \(S_3\) và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích \(S_4, S_5, ...\) Tính \(S = S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_{100}\).
A. \(S = \frac{2^{100}-1}{2^{99}a^2}\)
B. \(S = \frac{a(2^{100}-1)}{2^{99}}\)
C. \(S = \frac{a^2(2^{100}-1)}{2^{99}}\)
D. \(S = \frac{a^2(2^{99}-1)}{2^{99}}\)
Lời giải:
Chọn C
Dễ thấy diện tích các hình vuông lần lượt là:
\[S_1 = a^2; \quad S_2 = \frac{a^2}{2}; \quad S_3 = \frac{a^2}{4}; \quad ...; \quad S_{100} = \frac{a^2}{2^{99}}\]
Như vậy \(S_1, S_2, S_3, ..., S_{100}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(S_1 = a^2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Tổng diện tích \(S\) là:
\[S = S_1 + S_2 + ... + S_{100} = a^2 \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{99}}\right) = a^2 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2(2^{100}-1)}{2^{99}}\]
II. Bài toán thực tế và Bài toán nâng cao
Câu 50. Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\text{m}\) theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. \(40\text{ m}\)
B. \(70\text{ m}\)
C. \(50\text{ m}\)
D. \(80\text{ m}\)
Lời giải:
Chọn B
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \(u_1 = 10\) và công bội \(q = \frac{3}{4}\).
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là:
\[S_{xuống} = \frac{u_1}{1-q} = \frac{10}{1 - \frac{3}{4}} = 40\text{ (m)}\]
Vì mỗi lần bóng nảy lên rồi lại rơi xuống (ngoại trừ lần thả đầu tiên chỉ đi xuống), tổng quãng đường bóng đi được đến khi dừng hẳn là:
\[S_{tổng} = 2 S_{xuống} - u_1 = 2 \cdot 40 - 10 = 70\text{ (m)}\]
Câu 51. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi. Biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con, hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con?
A. 10.
B. 11.
C. 26.
D. 50.
Lời giải:
Chọn A
Số lượng vi khuẩn tăng lên theo thời gian lập thành một cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q = 2\).
Theo đề bài:
\[u_6 = 64000 \Rightarrow u_1 q^5 = 64000 \Rightarrow u_1 \cdot 2^5 = 64000 \Rightarrow u_1 = 2000\]
Sau \(n\) phút, số lượng vi khuẩn là \(u_{n+1}\):
\[u_{n+1} = 2048000 \Rightarrow u_1 q^n = 2048000 \Rightarrow 2000 \cdot 2^n = 2048000 \Rightarrow 2^n = 1024 \Rightarrow n = 10\]
Vậy sau 10 phút thì số lượng vi khuẩn đạt 2048000 con.
Câu 52. Cho dãy số \((a_n)\) xác định bởi \(a_1 = 5\), \(a_{n+1} = q \cdot a_n + 3\) với mọi \(n \ge 1\), trong đó \(q\) là hằng số, \(q \neq 0, q \neq 1\). Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng \(a_n = \alpha \cdot q^{n-1} + \beta \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\). Tính \(\alpha + 2\beta\)?
A. 13.
B. 9.
C. 11.
D. 16.
Lời giải:
Chọn C
Ta có: \(a_{n+1} - k = q(a_n - k) \Leftrightarrow a_{n+1} = q a_n + k(1-q)\).
Đồng nhất hệ số với \(a_{n+1} = q a_n + 3\), ta được \(k(1-q) = 3 \Leftrightarrow k = \frac{3}{1-q}\).
Đặt \(v_n = a_n - k\), khi đó \((v_n)\) là cấp số nhân với công bội \(q\) và \(v_1 = a_1 - k = 5 - \frac{3}{1-q}\).
Suy ra:
\[v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = \left(5 - \frac{3}{1-q}\right) q^{n-1}\]
Do đó:
\[a_n = v_n + k = \left(5 - \frac{3}{1-q}\right) q^{n-1} + \frac{3}{1-q} = 5q^{n-1} + 3 \cdot \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\]
So sánh với dạng tổng quát \(a_n = \alpha \cdot q^{n-1} + \beta \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\), suy ra \(\alpha = 5\) và \(\beta = 3\).
Vậy \(\alpha + 2\beta = 5 + 2 \cdot 3 = 11\).
