Tóm tắt cấu trúc đề thi: Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chuyên Toán và Chuyên Tin trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội được biên soạn dưới hình thức 1...
I. TỔNG QUAN VỀ ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội — Trường THPT Chuyên
- Đối tượng áp dụng: Chuyên Toán & Chuyên Tin
- Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề)
- Hình thức thi: 100% Tự luận (05 câu)
- Thang điểm: 10,0 điểm
Đề thi Toán chuyên của Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội được thiết kế theo chuẩn đề thi học sinh giỏi, bao quát 4 trụ cột chính của Toán học phổ thông nâng cao: Đại số, Số học, Hình học phẳng và Toán rời rạc / Xác suất / Trò chơi toán học.
II. PHÂN BỔ NỘI DUNG CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI
Câu 1. Bất đẳng thức & Xác suất cổ điển (2,0 điểm)
- a) (1,0đ) - Bất đẳng thức: Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c \le 2\sqrt{abc}\). Chứng minh rằng trong ba số \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\) không có hai số nào có tổng lớn hơn 1.
- b) (1,0đ) - Xác suất cổ điển: Bài toán rút thẻ ngẫu nhiên từ hộp (chứa 40 tấm thẻ ghi số từ 1 đến 10, mỗi số có 4 thẻ). Tính xác suất để chọn 2 thẻ cùng ghi một số.
Câu 2. Phương trình vô tỉ & Số học cơ bản (2,0 điểm)
- a) (1,0đ) - Giải phương trình: Phương trình vô tỉ nâng cao chứa căn thức:
\[(x + 1)(\sqrt{2x + 4} - 2\sqrt{x + 3}) + \sqrt{2x^2 + 10x + 12} = -2\]
- b) (1,0đ) - Số học (Số nguyên tố): Tìm bộ ba số nguyên tố có tổng bằng 242 sao cho tích của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3. Hình học phẳng tổng hợp (Nâng cao) (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân \(ABC\) có đường tròn nội tiếp \((I)\) tiếp xúc với các cạnh \(BC, CA, AB\) lần lượt tại \(D, E, F\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(BDF\) và \(CDE\).
- a) (1,0đ): Chứng minh \(AI \perp MN\).
- b) (1,0đ): Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng: \(IB \cdot IM = IC \cdot IN\).
- c) (1,0đ): Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DMN\) đi qua hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\).
Câu 4. Bất đẳng thức Đại số & Phương trình Diophante (2,0 điểm)
- a) (1,0đ) - Bất đẳng thức đại số: Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a \ge b \ge c\). Chứng minh bất đẳng thức:
\[\frac{a^3 b}{c} + b^2 c + c^3 \ge \frac{a^2 b^2}{c} + b c^2 + c^2 a\]
- b) (1,0đ) - Số học (Phương trình nghiệm hữu tỉ): Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho phương trình \(x^2 + xy + y^2 = 2^n\) có nghiệm hữu tỉ \((x, y)\).
Câu 5. Toán rời rạc / Trò chơi toán học (1,0 điểm - Vận dụng cao)
Trò chơi bốc bi đối kháng trên bàn có 1 331 viên bi giữa hai người A và B. Lượt đầu A lấy 1 viên bi, các lượt sau mỗi người phải lấy số bi lớn hơn hoặc bằng lượt người trước vừa lấy. Người không thể lấy đủ số bi quy định sẽ thua. Chứng minh người chơi A luôn có chiến thuật đảm bảo thắng cuộc.
III. MA TRẬN PHÂN BỔ KIẾN THỨC VÀ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
| Mạch kiến thức | Số điểm | Tỷ lệ | Mục tiêu đánh giá |
|---|---|---|---|
| Đại số & Phương trình | 3,0 điểm | 30% | Kỹ năng biến đổi đại số, giải phương trình vô tỉ và chứng minh BĐTh phức tạp. |
| Hình học phẳng | 3,0 điểm | 30% | Tư duy hình học thuần túy, các tính chất đường tròn, trực tâm, điểm đặc biệt. |
| Số học | 2,0 điểm | 20% | Số nguyên tố, tính chất chia hết, phương trình nghiệm nguyên / hữu tỉ. |
| Rời rạc & Xác suất | 2,0 điểm | 20% | Xác suất cổ điển và tư duy thuật toán / chiến thuật trò chơi toán học. |
IV. ĐÁNH GIÁ CHUNG VÀ LƯU Ý BÀI LÀM
- Cấu trúc chuẩn mực: Đủ cả 4 mảng lớn của Toán chuyên, giúp phân loại toàn diện năng lực của học sinh.
- Tính phân hóa triệt để: Ý a của các câu 1, 2, 3 dùng để tích lũy điểm nền tảng (3-4 điểm); các ý còn lại đòi hỏi tư duy sâu sắc, sáng tạo và lập luận chặt chẽ.
- Độ khó đỉnh cao ở Câu 5: Bài toán trò chơi bốc bi kiểm tra tư duy thuật toán, rất phù hợp cho định hướng tuyển chọn cả chuyên Toán và chuyên Tin.
