Chuyên đề Cấp số cộng: Dạng toán Tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Tóm tắt lý thuyết: Để xác định tổng của \(n\) số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng, ta cần xác định được số hạng đầu \(u_1\), công sai \(...

Tóm tắt lý thuyết:
Để xác định tổng của \(n\) số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng, ta cần xác định được số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d\) hoặc số hạng cuối \(u_n\). Sau đó áp dụng linh hoạt một trong hai công thức cốt lõi:
- Công thức 1 (khi biết số hạng đầu và số hạng thứ \(n\)): \[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\]- Công thức 2 (khi biết số hạng đầu và công sai): \[S_n = n u_1 + \frac{n(n-1)}{2}d\]

Dạng 4. Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Phương pháp giải

Tìm \(u_1, d\) hoặc \(u_1, u_n\) và tính \(S_n\) theo một trong hai công thức sau:

\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\]

\[S_n = n u_1 + \frac{n(n-1)}{2}d\]

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 4.1. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 3\). Tính tổng \(S_{100}\) của 100 số hạng đầu tiên.

Lời giải:
Ta có: \[S_{100} = 100 \cdot 2 + \frac{100(100 - 1)}{2} \cdot 3 = 15050\]

Ví dụ 4.2. Tính tổng \(S = 100 + 105 + 110 + \dots + 995\)

Lời giải:
Các số hạng của tổng \(S\) lập thành cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_1 = 100, d = 5\).
Giả sử 995 là số hạng thứ \(n\) \((n \in \mathbb{N}^*)\).
Ta có: \[995 = 100 + (n - 1)5 \Leftrightarrow 5n = 900 \Leftrightarrow n = 180\]Do đó: \[S = S_{180} = \frac{180(100 + 995)}{2} = 98550\]

Ví dụ 4.3. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_3 = -15\), \(u_4 = 18\). Tính tổng \(S_{20}\) của 20 số hạng đầu tiên.

Lời giải:
Áp dụng công thức \(u_{n+1} = u_n + d\), ta có: \[d = u_4 - u_3 = 18 - (-15) = 33\]Áp dụng công thức \(u_n = u_1 + (n - 1)d\), ta có: \[u_1 = u_3 - (3 - 1)d = -15 - (3 - 1)33 = -81\]Áp dụng công thức tính tổng, ta có: \[S_{20} = 20 \cdot (-81) + \frac{20(20 - 1)}{2} \cdot 33 = 4650\]

Ví dụ 4.4. Cho cấp số cộng \((u_n)\) thỏa mãn: \[\begin{cases} S_4 = 9 \\ S_6 = \frac{45}{2} \end{cases}\] Tính \(u_1, d\).

Lời giải:
Ta có: \[\begin{cases} S_4 = \frac{4(2u_1 + 3d)}{2} = 9 \\ S_6 = \frac{6(2u_1 + 5d)}{2} = \frac{45}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4u_1 + 6d = 9 \\ 4u_1 + 10d = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = \frac{3}{2} \\ u_1 = 0 \end{cases}\]Vậy ta có: \(u_1 = 0, d = \frac{3}{2}\).

Ví dụ 4.5. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 2n - 3\).
(1) Chứng minh rằng \((u_n)\) là cấp số cộng.
(2) Tính tổng của 30 số hạng đầu.
(3) Biết \(S_n = 195\), tìm \(n\).

Lời giải:
(1) Vì \(u_n = 2n - 3\) nên \(u_1 = -1\).
Với \(n \ge 1\), xét hiệu: \[u_{n+1} - u_n = 2(n + 1) - 3 - (2n - 3) = 2\]Suy ra \(u_{n+1} = u_n + 2, \forall n \ge 1\). Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 2\).

(2) Tính tổng của 30 số hạng đầu:
Vì \(u_1 = -1, d = 2, n = 30\) nên ta có: \[S_{30} = 30 \cdot (-1) + \frac{30(30 - 1)}{2} \cdot 2 = 840\]
(3) Biết \(S_n = 195\), tìm \(n\):
Vì \(u_1 = -1, d = 2, S_n = 195\).
Nên ta có: \[n \cdot (-1) + \frac{n(n - 1)}{2} \cdot 2 = 195 \Leftrightarrow n^2 - 2n - 195 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} n = 15 \\ n = -13 \end{bmatrix}\]Do \(n \in \mathbb{N}^*\) nên \(n = 15\).

Ví dụ 4.6. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \[\begin{cases} u_7 + u_{15} = 60 \\ u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \end{cases}\] và công sai \(d > 0\). Tính tổng \(S_{2017}\) của 2017 số hạng đầu.

Lời giải:
Ta có: \[\begin{cases} 2u_1 + 20d = 60 \\ (u_1 + 3d)^2 + (u_1 + 11d)^2 = 1170 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 30 - 10d \\ (30 - 7d)^2 + (30 + 7d)^2 = 1170 \end{cases}\]\[\Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 30 - 10d \\ 5d^2 - 36d + 63 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 0 \\ d = 3 \end{cases} \text{ hoặc } \begin{cases} u_1 = 36 \\ d = -\frac{3}{5} \end{cases}\]Vì \(d > 0\) nên ta nhận \(u_1 = 0, d = 3\).
Khi đó: \[S_{2017} = 2017 \cdot 0 + \frac{2017(2017 - 1)}{2} \cdot 3 = 6099408\]

Xem và tải tài liệu đầy đủ

[Tải file PDF gốc ##download##]