Tóm tắt kiến thức: Dạng toán về tính chất cấp số cộng dựa trên nguyên lý: Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của h...
1. Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Tính chất: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng liền kề với nó, nghĩa là: \[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}, \quad \forall k \ge 2.\]
- Hệ quả: Ba số \(a, b, c\) (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \[a + c = 2b\] Đôi khi ta cũng viết \(b - a = c - b\) sẽ thuận lợi hơn trong việc giải toán.
- Các bài toán thường gặp:
- Tìm ẩn \(x\) để 3 số cho trước lập thành một cấp số cộng.
- Ba góc trong một tam giác lập thành một cấp số cộng.
- Ba nghiệm phân biệt tạo thành một cấp số cộng.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 3.1: Ba số lập thành một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 2 và tổng bình phương của chúng bằng \(\frac{14}{9}\). Tìm ba số hạng đó.
Lời giải:
Gọi 3 số hạng cần tìm là \(u_1, u_2, u_3\).
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 2 \\ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = \frac{14}{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3u_2 = 2 \\ u_1^2 + u_3^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{14}{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_3 = 2u_2 = \frac{4}{3} \\ (u_1 + u_3)^2 - 2u_1u_3 = \frac{10}{9} \end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_3 = \frac{4}{3} \\ \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2u_1u_3 = \frac{10}{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_3 = \frac{4}{3} \\ u_1 u_3 = \frac{1}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u_1 = 1; u_3 = \frac{1}{3} \\ u_1 = \frac{1}{3}; u_3 = 1 \end{array}\right.\]
Vậy bộ ba số cần tìm là \(\left(1; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right)\) hoặc \(\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 1\right)\).
Ví dụ 3.2: Tìm \(x\) biết ba số \(10-3x\), \(3x^2+5\), \(5-4x\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Lời giải:
Đặt \(a = 10-3x\), \(b = 3x^2+5\), \(c = 5-4x\).
Vì \(a, b, c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a + c = 2b\).
\[a + c = 2b \Leftrightarrow 10 - 3x + 5 - 4x = 2(3x^2 + 5) \Leftrightarrow 6x^2 + 7x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = -\frac{5}{3} \end{array}\right.\]
Ví dụ 3.3: Cho tam giác ABC có số đo ba góc lập thành một cấp số cộng và một góc có số đo bằng \(25^\circ\). Tính số đo hai góc còn lại.
Lời giải:
Giả sử \(x, y, z\) là số đo ba góc của tam giác trên và theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng với \(x \le y \le z\).
Ta có:
\[\begin{cases} x + y + z = 180^\circ \\ x + z = 2y \end{cases} \Rightarrow 3y = 180^\circ \Rightarrow y = 60^\circ\]
Từ đó dễ dàng suy ra \(x = 25^\circ\) và \(z = 95^\circ\).
Ví dụ 3.4: Tìm \(x\) để ba số \(a, b, c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng, biết:
⑴ \(a = 10-3x\), \(b = 2x^2+3\), \(c = 7-4x\)
⑵ \(a = x+1\), \(b = 3x-2\), \(c = x^2-1\)
Lời giải:
⑴ \(a = 10-3x\), \(b = 2x^2+3\), \(c = 7-4x\):
\(a, b, c\) lập thành cấp số cộng khi \(b - a = c - b\). Khi đó:
\[2x^2 + 3 - 10 + 3x = 7 - 4x - 2x^2 - 3 \Leftrightarrow 4x^2 + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = -\frac{11}{4} \end{array}\right.\]
⑵ \(a = x+1\), \(b = 3x-2\), \(c = x^2-1\):
\(a, b, c\) lập thành cấp số cộng khi \(b - a = c - b\). Do đó ta có:
\[x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 4 \end{array}\right.\]
Ví dụ 3.5: Cho ba số dương \(a, b, c\). Đặt \(A = \frac{1}{b+c}\), \(B = \frac{1}{c+a}\), \(C = \frac{1}{a+b}\). Chứng minh rằng \(C, A, B\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(c^2, a^2, b^2\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
\(C, A, B\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
\[A - C = B - A \Leftrightarrow \frac{a - c}{(b+c)(a+b)} = \frac{b - a}{(b+c)(a+c)} \Leftrightarrow a^2 - c^2 = b^2 - a^2\]
Tương đương với \(c^2, a^2, b^2\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
