Tóm tắt: Bài viết tổng hợp lý thuyết cơ bản và phương pháp chứng minh một dãy số là cấp số cộng. Đi kèm với đó là các ví dụ minh họa đa dạn...
Dạng 1. Xác định dãy đã cho là cấp số cộng
Phương pháp
Nếu \((u_n)\) là một cấp số cộng với công sai \(d\) thì \(u_{n+1} = u_n + d\) với \(n \in \mathbb{N}^*\).
Để chứng minh một dãy đã cho là 1 cấp số cộng thì ta chứng minh:
\[u_{n+1} - u_n = C\]với \(C\) là một hằng số không đổi.
Ví dụ 1.1. Cho \((u_n)\) là một cấp số cộng có sáu số hạng với \(u_1 = -2\), \(d = 3\). Viết khai triển của cấp số cộng.
Lời giải
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có:
\(u_2 = u_1 + d = -2 + 3 = 1\)
\(u_3 = u_2 + d = 1 + 3 = 4\)
\(u_4 = u_3 + d = 4 + 3 = 7\)
\(u_5 = u_4 + d = 7 + 3 = 10\)
\(u_6 = u_5 + d = 10 + 3 = 13\)
Nên dạng khai triển của cấp số cộng là: \(-2; 1; 4; 7; 10; 13; \dots\)
Ví dụ 1.2. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 2n - 3\). Chứng minh rằng \((u_n)\) là một cấp số cộng. Tìm \(u_1\) và \(d\).
Lời giải
Ta có \(u_1 = -1\)
Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n = 2(n+1) - 3 - (2n - 3) = 2\). Suy ra \(u_{n+1} = u_n + 2\)
Vậy \((u_n)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 2\).
Ví dụ 1.3. Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy số nào là cấp số cộng?
(1) \(u_n = 3n + 2\)
(2) \(u_n = 3^n - 1\)
(3) \(u_n = (n + 2)^2 - n^2\)
(4) \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 3 - u_n \end{cases}\) với \(n \ge 1\)
Lời giải
(1) \(u_n = 3n + 2\)
Ta có \(u_{n+1} - u_n = 3(n+1) + 2 - (3n + 2) = 3\). Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng.
(2) \(u_n = 3^n - 1\)
Ta có \(u_1 = 2, u_2 = 8, u_3 = 26\).
Khi đó \(u_2 - u_1 = 6\), \(u_3 - u_2 = 18 \neq u_2 - u_1\). Vậy \((u_n)\) không là cấp số cộng.
(3) \(u_n = (n + 2)^2 - n^2\)
Ta có \(u_n = (n + 2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4\)
Khi đó \(u_{n+1} - u_n = 4(n+1) + 4 - (4n + 4) = 4\). Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng.
(4) \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 3 - u_n \end{cases}\) với \(n \ge 1\)
Ta có \(u_1 = 2, u_2 = 1, u_3 = 2\).
Khi đó \(u_2 - u_1 = -1\), \(u_3 - u_2 = 1 \neq u_2 - u_1\). Vậy \((u_n)\) không là cấp số cộng.
Ví dụ 1.4. Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tính số hạng đầu và công sai.
(1) \(u_n = 2 - 3n\)
(2) \(u_n = \dfrac{n}{3} - 2\)
(3) \(u_n = \dfrac{1}{n} + 3\)
(4) \(u_n = 2^n + 4\)
Lời giải
(1) \(u_n = 2 - 3n\)
Ta có: \(u_{n+1} - u_n = 2 - 3(n+1) - (2 - 3n) = -3\). Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng, \(u_1 = -1, d = -3\).
(2) \(u_n = \dfrac{n}{3} - 2\)
Ta có: \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{3} - 2 - \left(\dfrac{n}{3} - 2\right) = \dfrac{1}{3}\). Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng, \(u_1 = -\dfrac{5}{3}, d = \dfrac{1}{3}\).
(3) \(u_n = \dfrac{1}{n} + 3\)
Ta có: \(u_1 = 4, u_2 = \dfrac{7}{2}, u_3 = \dfrac{10}{3} \Rightarrow u_3 - u_2 \neq u_2 - u_1\). Vậy \((u_n)\) không là cấp số cộng.
(4) \(u_n = 2^n + 4\)
Ta có: \(u_1 = 6, u_2 = 8, u_3 = 12 \Rightarrow u_3 - u_2 \neq u_2 - u_1\). Vậy \((u_n)\) không là cấp số cộng.
