Tóm tắt lý thuyết & Phương pháp giải: Để giải quyết tốt các bài toán kết hợp giữa cấp số cộng và cấp số nhân, học sinh cần nắm chắc đị...
Tóm tắt lý thuyết & Phương pháp giải: Để giải quyết tốt các bài toán kết hợp giữa cấp số cộng và cấp số nhân, học sinh cần nắm chắc định nghĩa, công thức số hạng tổng quát cũng như các tính chất đặc trưng của hai loại cấp số này.
I. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Cấp số cộng:
- Định nghĩa: \(u_{n+1} = u_n + d\) với \(n \in \mathbb{N}^*\) (\(d\) được gọi là công sai).
- Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + (n-1)d\), \(\forall n \ge 1\).
- Tính chất: \(u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}\), \(\forall k \ge 2\).
2. Cấp số nhân:
- Định nghĩa: \(u_n = q \cdot u_{n-1}\) với \(n \ge 2\) (\(q\) được gọi là công bội).
- Số hạng tổng quát: \(u_n = q^{n-1} \cdot u_1\), \(\forall n \ge 2\).
- Tính chất: \(u_k = \sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}\) hay \(u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) (\(k \ge 2\)).
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 6.1: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là \(\frac{148}{9}\), đồng thời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Lời giải:
Gọi \((u_n)\) là cấp số nhân, \((v_n)\) là cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Từ giả thiết ta có:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = \frac{148}{9} \\ u_1 = v_1 \\ u_2 = v_4 \\ u_3 = v_8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = \frac{148}{9} \\ u_1 = v_1 \\ u_1 q = v_1 + 3d \\ u_1 q^2 = v_1 + 7d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = \frac{148}{9} \\ u_1 = v_1 \\ u_1(q - 1) = 3d \\ u_1(q - 1)(q + 1) = 7d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = \frac{148}{9} \\ u_1 = v_1 \\ q + 1 = \frac{7}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q = \frac{4}{3} \\ u_1 = 4 \end{cases}\]
Vậy 4 số hạng đó là \(4; \frac{16}{3}; \frac{64}{9}; \frac{256}{27}\).
Ví dụ 6.2: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24.
Lời giải:
Gọi bốn số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(a, b, c, d\). Theo giả thiết ta có:
\[\begin{cases} b^2 = ac \\ 2c = b + d \\ a + d = 32 \\ b + c = 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 32 - d \\ b = 16 - \frac{d}{3} \\ c = 8 + \frac{d}{3} \\ b^2 = ac \end{cases} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} d = 0, a = 32, b = 16, c = 8 \\ d = 30, a = 2, b = 6, c = 18 \end{array}\right.\]
Ví dụ 6.3: Tìm các số dương \(a\) và \(b\) sao cho \(a, a+2b, 2a+b\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và \((b+1)^2, ab+5, (a+1)^2\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Lời giải:
Theo giả thiết ta có:
\[\begin{cases} 2a + 4b = 3a + b \\ (ab + 5)^2 = (a + 1)^2 (b + 1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 3b \\ (3b^2 + 5)^2 = (3b + 1)^2 (b + 1)^2 \end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases} a = 3b \\ (b - 1)(3b^2 + 2b + 3) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 3 \\ b = 1 \end{cases}\]
Ví dụ 6.4: Chứng minh rằng nếu ba số \(\frac{2}{y-x}, \frac{1}{y}, \frac{2}{y-z}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì \(x, y, z\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Lời giải:
Theo giả thiết ta có:
\[\frac{2}{y} = \frac{2}{y-x} + \frac{2}{y-z} \Leftrightarrow \frac{1}{y} = \frac{2y - x - z}{y^2 - xy - yz + xz} \Leftrightarrow y^2 - xy - yz + xz = 2y^2 - xy - zy \Leftrightarrow y^2 = zx\]
Vậy \(x, y, z\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Ví dụ 6.5: Một cấp số nhân và một cấp số cộng đều có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ 2 của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 thì bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.
Lời giải:
Gọi \((u_n)\) là cấp số nhân, \((v_n)\) là cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Theo giả thiết:
\[\begin{cases} u_1 = v_1 = 5 \\ u_2 + 10 = v_2 \\ u_3 = v_3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = v_1 = 5 \\ 5q + 10 = 5 + d \\ 5q^2 = 5 + 2(5q + 5) \end{cases} \Rightarrow 5q^2 - 10q - 15 = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} q = 3 \Rightarrow d = 20 \\ q = -1 \Rightarrow d = 0 \end{array}\right.\]
Vậy ta có cấp số nhân là \(5; 15; 45\) và cấp số cộng là \(5; 25; 45\);
Hoặc ta có cấp số nhân là \(5; -5; 5\) và cấp số cộng là \(5; 5; 5\).
