Tóm tắt kiến thức & phương pháp: Chuyên đề tập trung vào dạng câu hỏi trả lời ngắn về cấp số nhân trong chương trình Toán 11. Trọng tâ...
Tóm tắt kiến thức & phương pháp: Chuyên đề tập trung vào dạng câu hỏi trả lời ngắn về cấp số nhân trong chương trình Toán 11. Trọng tâm gồm các bài toán thiết lập hệ phương trình để xác định số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q\), tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên \(S_n\), và phân tích các trường hợp nghiệm nguyên hoặc cặp giá trị thỏa mãn điều kiện bài toán.
C. Câu hỏi – Trả lời ngắn – có lời giải chi tiết từng câu
» Câu 70. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_n = 5^n - 1\). Tính tổng số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân đó.
Lời giải
Trả lời: 9
Ta có: \(u_1 = S_1 = 5^1 - 1 = 4\) và \(u_2 = S_2 - S_1 = (5^2 - 1) - (5 - 1) = 20\).
Vậy \(u_1 = 4\), \(q = \frac{u_2}{u_1} = 5\).
Khi đó, tổng số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân bằng: \[u_1 + q = 4 + 5 = 9\]
» Câu 71. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\), biết: \(\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases}\)
Lời giải
Trả lời: 3
Áp dụng công thức: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\)
\[\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_1 q^4 = 51 \\ u_1 q + u_1 q^5 = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{51}{1 + q^4} \\[6pt] \dfrac{u_1(1 + q^4)}{u_1 q(1 + q^4)} = \dfrac{51}{102} \end{cases}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{q} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow q = 2\]
Khi đó: \(u_1 = \dfrac{51}{1 + 2^4} = 3\).
Vậy \(u_1 = 3;\, q = 2\).
» Câu 72. Biết \((u_1; q)\) là cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\): \(\begin{cases} u_2 = 6 \\ S_3 = 43 \end{cases}\). Có bao nhiêu cặp \((u_1; q)\) thỏa cấp số nhân đã cho?
Lời giải
Trả lời: 2
Áp dụng công thức \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) và \(S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}\):
\[\begin{cases} u_2 = 6 \\ S_3 = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q = 6 \\ \dfrac{u_1(1 - q^3)}{1 - q} = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q = 6 \\ u_1(1 + q + q^2) = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{6}{q} \\[6pt] \dfrac{6}{q(1 + q + q^2)} = \dfrac{6}{43} \end{cases}\]
\[\Rightarrow 43q = 6(1 + q + q^2) \Leftrightarrow 6q^2 - 37q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 6 \\[4pt] q = \dfrac{1}{6} \end{array}\right.\]
Với \(q = 6\) thì \(u_1 = \dfrac{6}{6} = 1\). Với \(q = \dfrac{1}{6}\) thì \(u_1 = \dfrac{6}{\frac{1}{6}} = 36\).
Vậy có các cặp: \(\begin{cases} q = 6 \\ u_1 = 1 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} q = \dfrac{1}{6} \\ u_1 = 36 \end{cases}\). Do đó có 2 cặp thỏa mãn.
» Câu 73. Biết \((u_1; q)\) là cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\): \(\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 31 \\ u_1 + u_3 = 26 \end{cases}\). Có bao nhiêu cặp \((u_1; q)\) có công bội là số nguyên thỏa cấp số nhân đã cho?
Lời giải
Trả lời: 1
Ta có:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 31 \\ u_1 + u_3 = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 31 \\ u_1 + u_1 q^2 = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = 31 \\ u_1(1 + q^2) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1 + q + q^2}{1 + q^2} = \dfrac{31}{26} \\[6pt] u_1 = \dfrac{26}{1 + q^2} \end{cases}\]
\[\Rightarrow 26(1 + q + q^2) = 31(1 + q^2) \Leftrightarrow 26 + 26q + 26q^2 = 31 + 31q^2\]
\[\Leftrightarrow 5q^2 - 26q + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 5 \\[4pt] q = \dfrac{1}{5} \end{array}\right.\]
Với \(q = 5\) (nhận do \(q \in \mathbb{Z}\)) thì \(u_1 = \dfrac{26}{1 + 5^2} = 1\).
Với \(q = \dfrac{1}{5}\) loại (vì công bội không phải là số nguyên).
Vậy có 1 cặp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
» Câu 74. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\), biết: \(\begin{cases} u_5 + u_2 = 36 \\ u_6 - u_4 = 48 \end{cases}\)
Lời giải
Trả lời: 2
Ta có:
\[\begin{cases} u_5 + u_2 = 36 \\ u_6 - u_4 = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q^4 + u_1 q = 36 \\ u_1 q^5 - u_1 q^3 = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(q^4 + q) = 36 \\ u_1(q^5 - q^3) = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{36}{q^4 + q} \\[6pt] \dfrac{q^4 + q}{q^5 - q^3} = \dfrac{36}{48} \end{cases}\]
\[\Rightarrow 4(q^4 + q) = 3(q^5 - q^3)\]
\[\Leftrightarrow 4q^4 + 4q = 3q^5 - 3q^3 \Leftrightarrow 4q^4 + 4q - 3q^5 + 3q^3 = 0\]
\[\Leftrightarrow q(-3q^4 + 4q^3 + 3q^2 + 4) = 0 \Leftrightarrow -q(q + 1)(q - 2)(3q^2 - q + 2) = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 0 \\ q = -1 \\ q = 2 \\ 3q^2 - q + 2 = 0 \text{ (vô nghiệm)} \end{array}\right. \Leftrightarrow q = 2 \quad (\text{do } q \neq 0;\, q \neq -1)\]
Với \(q = 2\) thì \(u_1 = \dfrac{36}{2^4 + 2} = \dfrac{36}{18} = 2\).
Vậy \(q = 2;\, u_1 = 2\).
