Tóm tắt kiến thức: Dạng bài tập xác định các yếu tố của cấp số nhân (số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q\), số hạng thứ \(n\)) qua số hạng t...
Tóm tắt kiến thức: Dạng bài tập xác định các yếu tố của cấp số nhân (số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q\), số hạng thứ \(n\)) qua số hạng tổng quát dựa trên công thức \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) (với \(n \ge 2\)). Dưới đây là hệ thống phương pháp giải chi tiết cùng các bài tập mẫu ứng dụng trong bài toán đại số và hình học.
I. Phương pháp giải
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) của nó được tính bởi công thức:
\[u_n = u_1 \cdot q^{n-1}, \quad (n \ge 2)\]
II. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.1: Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q < 0\) và \(u_2 = 4\), \(u_4 = 9\). Tìm \(u_1\).
Lời giải:
Vì \(q < 0\) và \(u_2 > 0\) nên \(u_3 < 0\). Do đó:
\[u_3 = -\sqrt{u_2 \cdot u_4} = -\sqrt{4 \cdot 9} = -6\]
Mặt khác, \(u_2^2 = u_1 \cdot u_3 \Rightarrow u_1 = \frac{u_2^2}{u_3} = \frac{4^2}{-6} = -\frac{8}{3}\).
Ví dụ 2.2: Cho cấp số nhân \((u_n)\) biết:
\[\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases}\]
Hỏi số \(12288\) là số hạng thứ mấy của cấp số nhân \((u_n)\)?
Lời giải:
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.
Theo đề bài, ta có:
\[\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases} \Rightarrow q = 2 \Rightarrow u_1 = 3 \Rightarrow u_n = 3 \cdot 2^{n-1}\]
Mặt khác, \(u_n = 12288 \Leftrightarrow 3 \cdot 2^{n-1} = 12288 \Leftrightarrow 2^{n-1} = 2^{12} \Leftrightarrow n = 13\).
Vậy số \(12288\) là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
Ví dụ 2.3: Cho cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn:
\[\begin{cases} u_4 = \frac{2}{27} \\ u_3 = 243 u_8 \end{cases}\]
⑴ Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân.
⑵ Số \(\frac{2}{6561}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?
Lời giải:
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân.
Theo giả thiết ta có:
\[\begin{cases} u_1 q^3 = \frac{2}{27} \\ u_1 q^2 = 243 \cdot u_1 q^7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q^3 = \frac{2}{27} \\ q^5 = \frac{1}{243} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q = \frac{1}{3} \\ u_1 = 2 \end{cases}\]
⑴ Năm số hạng đầu của cấp số nhân là:
\[u_1 = 2, \quad u_2 = \frac{2}{3}, \quad u_3 = \frac{2}{9}, \quad u_4 = \frac{2}{27}, \quad u_5 = \frac{2}{81}\]
⑵ Ta có: \(u_n = \frac{2}{3^{n-1}}\).
\[u_n = \frac{2}{6561} \Leftrightarrow \frac{2}{3^{n-1}} = \frac{2}{6561} \Leftrightarrow 3^{n-1} = 6561 = 3^8 \Rightarrow n = 9\]
Vậy \(\frac{2}{6561}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.
Ví dụ 2.4: Cho tứ giác \(ABCD\) có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng \(2\). Tìm số đo 4 góc ấy.
Lời giải:
Giả sử 4 góc lập thành cấp số nhân \(U_1, U_2, U_3, U_4\). Ta có:
\[\begin{cases} U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = 360^\circ \\ q = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} U_1 \frac{1 - q^4}{1 - q} = 360^\circ \\ q = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} U_1 = 24^\circ \\ q = 2 \end{cases}\]
Vậy số đo 4 góc lần lượt là: \(24^\circ, 48^\circ, 96^\circ, 192^\circ\).
Ví dụ 2.5: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng một phần tư số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu bằng \(8\).
Lời giải:
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} U_1 + U_2 = 8 \\ q = \frac{1}{4} U_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} U_1 + U_1 \cdot \left(\frac{1}{4} U_1\right) = 8 \\ q = \frac{1}{4} U_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} U_1^2 + 4 U_1 = 32 \\ q = \frac{1}{4} U_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix} U_1 = -8 \\ U_1 = 4 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} q = -2 \\ q = 1 \end{bmatrix} \end{cases}\]
Vậy ta có hai cấp số nhân thỏa mãn:
- Trường hợp 1: \(-8; 16; -32; 64; -128\)
- Trường hợp 2: \(4; 4; 4; 4; 4\)
