Tóm tắt nội dung: Dạng toán cấp số nhân kết hợp hình học yêu cầu học sinh phối hợp nhuần nhuyễn giữa tính chất của cấp số nhân với các hệ ...
Tóm tắt nội dung: Dạng toán cấp số nhân kết hợp hình học yêu cầu học sinh phối hợp nhuần nhuyễn giữa tính chất của cấp số nhân với các hệ thức lượng trong tam giác (định lí cosin, định lí sin), bất đẳng thức tam giác và công thức hình học không gian (thể tích, diện tích toàn phần khối hộp chữ nhật). Bài viết tổng hợp phương pháp và các ví dụ điển hình có lời giải chi tiết.
Dạng 4. Cấp số nhân liên quan hình học
Phương pháp giải
Để giải các bài toán cấp số nhân liên quan hình học, ngoài vận dụng các tính chất của cấp số nhân, tính chất hình học thuần túy như vuông,... cần vận dụng linh hoạt các hệ thức lượng trong tam giác, các công thức lượng giác.
Ta chú ý các tính chất sau:
(1) Tổng các góc ở đỉnh của tứ giác lồi bằng \(360^\circ\).
(2) Định lí Cô-sin trong tam giác: Cho tam giác \(ABC\) với \(a=BC, b=AC, c=AB\), ta có:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]
(3) Định lí hàm sin: \(a = 2R\sin A,\; b = 2R\sin B,\; c = 2R\sin C\).
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 4.1. Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.
Lời giải:
Từ giả thiết gọi bốn góc là \(A = u_1, B = u_2, C = u_3, D = u_4\) lập thành cấp số nhân.
Ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} A + B + C + D = 360^\circ \\ D = 9B \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2 + q^3) = 360 \\ u_1 q^3 = 9u_1 q \end{cases} \Rightarrow q = 3 \Rightarrow u_1 = 9.\]
Vậy 4 góc đó là \(9^\circ, 27^\circ, 81^\circ, 243^\circ\).
Ví dụ 4.2. Độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) có hai góc không quá \(60^\circ\).
Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a \le b \le c \Rightarrow A \le B \le C\).
Từ giả thiết gọi ba cạnh là \(a = u_1, b = u_2, c = u_3\) lập thành cấp số nhân. Suy ra \(b^2 = ac\).
Mà theo định lí cosin ta có:
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \ge 2ac - 2ac\cos B\]
\[\Leftrightarrow ac \ge 2ac - 2ac\cos B \Leftrightarrow 1 \ge 2 - 2\cos B \Leftrightarrow \cos B \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow B \le 60^\circ,\]
Từ \(A \le B \le C\) suy ra \(A \le 60^\circ\).
Ví dụ 4.3. Tìm điều kiện cho một cấp số nhân để ba số hạng liên tiếp của nó là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải:
Gọi ba cạnh của tam giác đó lần lượt là \(u_1, u_1q, u_1q^2\) (với \(u_1 > 0, q > 0\), \(q\) là công bội).
» Nếu \(q > 1\) thì ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân đó là \(u_1 < u_1q < u_1q^2\).
Theo bất đẳng thức trong tam giác:
\[u_1q^2 < u_1 + u_1q \Leftrightarrow \begin{cases} q^2 - q - 1 < 0 \\ q > 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < q < \frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
» Nếu \(0 < q < 1\) thì ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân đó là \(u_1 > u_1q > u_1q^2\).
Theo bất đẳng thức trong tam giác:
\[u_1 < u_1q + u_1q^2 \Leftrightarrow \begin{cases} q^2 + q - 1 > 0 \\ 0 < q < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{-1+\sqrt{5}}{2} < q < 1.\]
Vậy để ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là độ dài ba cạnh của một tam giác thì công bội:
\[q \in \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).\]
Ví dụ 4.4. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là \(125\text{ cm}^3\) và diện tích toàn phần là \(175\text{ cm}^2\). Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.
Lời giải:
Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là \(\frac{a}{q}, a, aq\).
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là:
\[V = \frac{a}{q} \cdot a \cdot qa = a^3 = 125 \Rightarrow a = 5.\]
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:
\[S_{tp} = 2\left(\frac{a}{q}\cdot a + a\cdot aq + aq\cdot\frac{a}{q}\right) = 2a^2\left(1 + q + \frac{1}{q}\right) = 50\left(1 + q + \frac{1}{q}\right).\]
Theo giả thiết, ta có:
\[50\left(1 + q + \frac{1}{q}\right) = 175 \Leftrightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} q &= 2 \\ q &= \frac{1}{2} \end{aligned}\right.\]
Với \(q = 2\) hoặc \(q = \frac{1}{2}\) thì kích thước của hình hộp chữ nhật là \(2{,}5\text{ cm}; 5\text{ cm}; 10\text{ cm}\). Suy ra tổng ba kích thước này là \(2{,}5 + 5 + 10 = 17{,}5\text{ cm}\).
Ví dụ 4.5. Cho \(\alpha, \beta, \gamma\) đều khác \(\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\). Giả sử \(\sin^2\alpha, \sin^2\beta, \sin^2\gamma\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời \(\sin\beta \ne 0\) và \(\tan\alpha\tan\gamma = 1\). Chứng minh rằng \(\tan\alpha, \tan\beta, \tan\gamma\) lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
\[\sin^2\beta - \sin^2\alpha = \sin^2\gamma - \sin^2\beta \Leftrightarrow \cos^2\beta - \cos^2\alpha = \cos^2\gamma - \cos^2\beta.\]
Từ đó suy ra:
\[\frac{1}{1+\tan^2\beta} - \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1+\tan^2\gamma} - \frac{1}{1+\tan^2\beta} \Leftrightarrow \frac{2}{1+\tan^2\beta} = \frac{2+\tan^2\alpha+\tan^2\gamma}{1+\tan^2\alpha+\tan^2\gamma+\tan^2\alpha\tan^2\gamma}.\]
