Tóm tắt nội dung: Chuyên đề tập trung khai thác các bài toán dãy số nâng cao dành cho học sinh giỏi THPT. Nội dung bao gồm phương ...
Dạng 6. LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ
Bài 1. Cho cấp số cộng \((u_n)\) với \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \(u_{2013} = 2013; u_{2014} = 2014\). Tính tổng:
\[ S = \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \dots + \frac{1}{u_{2013} u_{2014}} \]Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng \((u_n)\) là \(u_n = n\).
Khi đó:
\[ S = \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \dots + \frac{1}{u_{2013} u_{2014}} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{2013 \cdot 2014} \]
\[ = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2013} - \frac{1}{2014} = \frac{1006}{2014} = \frac{503}{1007} \]
Bài 2. Cho dãy số thực \((x_n)\) được xác định bởi:
\[ \begin{cases} x_0 = a \\ x_{n+1} = 2x_n^2 - 1 \end{cases} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \]Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(x_n < 0\) với mọi số tự nhiên \(n\).
Hướng dẫn giải
Giả sử \(x_n < 0\) với \(\forall n \in \mathbb{N}\).
Từ \(x_{n+1} = 2x_n^2 - 1 < 0\) có \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < x_{n+1} < 0\).
Lại từ \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < 2x_n^2 - 1 < 0\) có:
\[ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x_n < -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow -1 < x_n < -\frac{1}{4}, \; \forall n \in \mathbb{N} \]Suy ra \(\left| x_n - \frac{1}{2} \right| > \frac{3}{4}\) và \(\left| x_n + \frac{1}{2} \right| < 1, \; \forall n \in \mathbb{N}\).
Từ đó:
\[ \left| x_{n+1} + \frac{1}{2} \right| = \left| 2x_n^2 - 1 + \frac{1}{2} \right| = 2\left| x_n^2 - \frac{1}{4} \right| = 2\left| x_n - \frac{1}{2} \right| \left| x_n + \frac{1}{2} \right| > 2 \cdot \frac{3}{4} \left| x_n + \frac{1}{2} \right| = \frac{3}{2} \left| x_n + \frac{1}{2} \right|, \; \forall n \in \mathbb{N} \]
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:
\[ \left| a + \frac{1}{2} \right| = \left| x_0 + \frac{1}{2} \right| < \frac{2}{3}\left| x_1 + \frac{1}{2} \right| < \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left| x_2 + \frac{1}{2} \right| < \dots < \left(\frac{2}{3}\right)^n \left| x_n + \frac{1}{2} \right| < \left(\frac{2}{3}\right)^n, \; \forall n \in \mathbb{N} \]
Mà \(\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0\) nên phải có \(\left| a + \frac{1}{2} \right| = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}\).
Thử lại với \(a = -\frac{1}{2}\) thì \(x_n = -\frac{1}{2} < 0, \; \forall n\).
Vậy \(a = -\frac{1}{2}\) là giá trị duy nhất cần tìm.
Bài 3. Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi:
\[ \begin{cases} x_0 = 20; \; x_1 = 30 \\ x_{n+2} = 3x_{n+1} - x_n, \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \]Tìm \(n\) để \(x_{n+1}x_n + 1\) là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của \(x_n\) ta có:
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \; x_{n+1}^2 + x_n^2 - 3x_{n+1}x_n = x_{n+1}^2 + x_n(x_n - 3x_{n+1}) = x_{n+1}^2 - x_{n+2}x_n \]và
\[ x_{n+1}^2 + x_n^2 - 3x_{n+1}x_n = x_{n+1}(x_{n+1} - 3x_n) + x_n^2 = x_n^2 - x_{n+1}x_{n-1} \]Suy ra:
\[ x_{n+1}^2 - x_{n+2}x_n = x_n^2 - x_{n+1}x_{n-1} = \dots = x_1^2 - x_0 x_2 = -500 \] \[ \Rightarrow x_{n+1}^2 + x_n^2 - 3x_{n+1}x_n = -500 \] \[ \Leftrightarrow x_{n+1}^2 + x_n^2 = 3x_{n+1}x_n - 500 \] \[ \Leftrightarrow (x_{n+1} - x_n)^2 = x_{n+1}x_n - 500 \]Vậy \(x_{n+1}x_n - 500\) là số chính phương.
Giả sử \(n\) là số thỏa mãn \(x_{n+1}x_n - 500\) là số chính phương.
Đặt \(x_{n+1}x_n - 500 = b^2\), \(x_{n+1}x_n + 1 = a^2\) với \(a, b \in \mathbb{N}, \; a > b\).
Ta có:
\[ a^2 - b^2 = 501 \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 1 \cdot 501 = 3 \cdot 167 \]Khi đó ta tìm được \(a = 251, b = 250\) thì \(x_{n+1}x_n = 12600 \Rightarrow n = 2\).
Với \(a = 85, b = 82\) thì \(x_{n+1}x_n = 7224 \Rightarrow \not\exists n\).
Vậy \(n = 2\) thì \(x_{n+1}x_n + 1\) là số chính phương.
Bài 4. Dãy số \((u_n)\) xác định như sau:
\[ \begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = u_n^2 - u_n + 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases} \]Chứng minh rằng:
\[ 1 - \frac{1}{2^{2015}} < \sum_{k=1}^{2016} \frac{1}{u_k} < 1 - \frac{1}{2^{2016}} \]Hướng dẫn giải
Ta có: \(u_{n+1} - u_n = u_n^2 - 2u_n + 1 = (u_n - 1)^2\). (1)
Do \(u_1 = 2 \Rightarrow u_2 - u_1 = 1 \Rightarrow u_2 > u_1\).
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra \((u_n)\) là dãy đơn điệu tăng thực sự, và \(u_n\) nhận giá trị nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi \(n = 1, 2, \dots\)
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:
\[ u_{n+1} - 1 = u_n^2 - u_n = u_n(u_n - 1) \quad (2) \]Từ đó dẫn đến:
\[ \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{1}{u_n(u_n - 1)} = \frac{1}{u_n - 1} - \frac{1}{u_n} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_n - 1} - \frac{1}{u_{n+1} - 1} \quad (3) \]Bây giờ từ (3), ta có:...
