Tổng quan chuyên đề: Tài liệu hướng dẫn phương pháp giải các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán chủ đề Dãy số cho bởi công thức truy hồ...
Tổng quan chuyên đề: Tài liệu hướng dẫn phương pháp giải các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán chủ đề Dãy số cho bởi công thức truy hồi. Nội dung bao gồm các kỹ thuật điển hình như: đưa về cấp số nhân thông qua dãy số phụ, phương pháp quy nạp toán học kết hợp tính giới hạn liên hợp, kỹ thuật đổi biến số vô tỉ và nghịch đảo dãy số đưa về cấp số cộng cơ bản.
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
Dạng 2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Bài 1. Cho dãy số \((u_n)\) biết \(\begin{cases} u_1 = -2 \\ u_n = 3u_{n-1} - 1, \forall n \ge 2 \end{cases}\). Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
Ta có: \[u_n = 3u_{n-1} - 1 \Leftrightarrow u_n - \frac{1}{2} = 3u_{n-1} - \frac{3}{2} \Leftrightarrow u_n - \frac{1}{2} = 3\left(u_{n-1} - \frac{1}{2}\right) \quad (1)\]
Đặt \(v_n = u_n - \frac{1}{2} \Rightarrow v_1 = u_1 - \frac{1}{2} = \frac{-5}{2}\).
\((1) \Rightarrow v_n = 3v_{n-1}, \forall n \ge 2\).
Dãy \((v_n)\) là cấp số nhân với công bội là \(q = 3\).
Nên: \[v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = \frac{-5}{2} \cdot 3^{n-1}\]
Do đó: \[u_n = v_n + \frac{1}{2} = \frac{-5}{2} \cdot 3^{n-1} + \frac{1}{2}, \forall n = 1, 2, \dots\]
Bài 2.
a) Tính giới hạn \(A = \lim \left(\sqrt[3]{n^3 + n^2 - 1} - n\right)\).
b) Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \(\begin{cases} u_1 = 11 \\ u_{n+1} = 10u_n + 1 - 9n, \forall n \in \mathbb{N} \end{cases}\). Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\).
Hướng dẫn giải
a) Tính giới hạn \(A = \lim \left(\sqrt[3]{n^3 + n^2 - 1} - n\right)\).
Ta có: \[A = \lim \left(\sqrt[3]{n^3 + n^2 - 1} - n\right) = \lim \frac{n^2 - 1}{\sqrt[3]{\left(n^3 + n^2 - 1\right)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + n^2 - 1} + n^2}\]
\[= \lim \frac{1 - \dfrac{1}{n^2}}{\sqrt[3]{\left(1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^3}\right)^2} + \sqrt[3]{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^3}} + 1}\]
Vậy \(A = \dfrac{1}{3}\).
b) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\):
Ta có:
\(u_1 = 11 = 10 + 1\)
\(u_2 = 10 \cdot 11 + 1 - 9 = 102 = 100 + 2\)
\(u_3 = 10 \cdot 102 + 1 - 9 \cdot 2 = 1003 = 1000 + 3\)
Dự đoán: \(u_n = 10^n + n \quad (1)\).
Chứng minh:
Ta có: \(u_1 = 11 = 10^1 + 1\), công thức (1) đúng với \(n = 1\).
Giả sử công thức (1) đúng với \(n = k\), ta có: \(u_k = 10^k + k\).
Ta có: \[u_{k+1} = 10(10^k + k) + 1 - 9k = 10^{k+1} + (k + 1)\]
Công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy \(u_n = 10^n + n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Bài 3. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \(\begin{cases} u_1 = 4 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{9}\left(u_n + 4 + 4\sqrt{1 + 2u_n}\right), n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\). Tìm công thức của số hạng tổng quát \((u_n)\)?
Hướng dẫn giải
Đặt \(x_n = \sqrt{1 + 2u_n} \Rightarrow x_n^2 = 1 + 2u_n, x_n \ge 0 \Rightarrow u_n = \dfrac{x_n^2 - 1}{2}\).
Thay vào giả thiết:
\[\frac{x_{n+1}^2 - 1}{2} = \frac{1}{9}\left(\frac{x_n^2 - 1}{2} + 4 + 4x_n\right) \Leftrightarrow (3x_{n+1})^2 = (x_n + 4)^2 \Leftrightarrow 3x_{n+1} = x_n + 4, \forall n \in \mathbb{N}^*, x_n \ge 0\]
Ta có: \[3x_{n+1} - x_n = 4 \Leftrightarrow 3^{n+1}x_{n+1} - 3^n x_n = 4 \cdot 3^n\]
Đặt \(y_n = 3^n x_n \Rightarrow y_{n+1} = y_n + 4 \cdot 3^n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
\[\Rightarrow y_{n+1} = y_1 + 4(3^n + 3^{n-1} + \dots + 3) \Leftrightarrow y_{n+1} = y_1 - 6 + 2 \cdot 3^{n+1}\]
Ta có \(x_1 = 3 \Rightarrow y_1 = 9 \Rightarrow y_n = 3 + 2 \cdot 3^n\).
Suy ra: \[x_n = 2 + \frac{1}{3^{n-1}}, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow u_n = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}}\right), \forall n \in \mathbb{N}^*\]
Bài 4. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \(u_1 = 1; u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2u_n + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Tìm công thức số hạng tổng quát \(u_n\) theo \(n\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Khi đó: \[u_{n+1} = \frac{u_n}{2u_n + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n+1}} = 2 + \frac{1}{u_n}\]
Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), đặt \(v_n = \dfrac{1}{u_n} \Rightarrow v_1 = 1; v_{n+1} = v_n + 2, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Suy ra, dãy số \((v_n)\) là cấp số cộng có \(v_1 = 1\) và công sai \(d = 2\).
Do đó: \[v_n = v_1 + (n - 1)d = 2n - 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\]
Vậy: \[u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n - 1}\]
