Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn phương pháp giải Dạng 1: Tính giá trị biểu thức lượng giác thuộc chương trình Toán 10. Nội dung hệ th...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn phương pháp giải Dạng 1: Tính giá trị biểu thức lượng giác thuộc chương trình Toán 10. Nội dung hệ thống hóa các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác, mối quan hệ giữa hai góc bù nhau và phụ nhau, đi kèm hệ thống ví dụ điển hình có hướng dẫn giải chi tiết.
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức lượng giác
Phương pháp giải:
(1) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
(2) \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad (\alpha \ne 0^\circ;\, 90^\circ;\, 180^\circ)\)
(3) \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\alpha \ne 90^\circ)\)
(4) \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\alpha \ne 0^\circ;\, 180^\circ)\)
(5) \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\alpha \ne 90^\circ)\)
(6) \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \ne 0^\circ;\, 180^\circ)\)
Có thể sử dụng thêm: Công thức góc bù (Sin - bù), góc phụ (Phụ - chéo).
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.1. Tính giá trị các biểu thức sau:
(1) \(A = a^2 \sin 90^\circ + b^2 \cos 90^\circ + c^2 \cos 180^\circ\)
(2) \(B = 3 - \sin^2 90^\circ + 2\cos^2 60^\circ - 3\tan^2 45^\circ\)
(3) \(C = \sin^2 45^\circ - 2\sin^2 50^\circ + 3\cos^2 45^\circ - 2\sin^2 40^\circ + 4\tan 55^\circ \cdot \tan 35^\circ\)
Lời giải:
(1) \(A = a^2 \sin 90^\circ + b^2 \cos 90^\circ + c^2 \cos 180^\circ\)
\[A = a^2 \cdot 1 + b^2 \cdot 0 + c^2 \cdot (-1) = a^2 - c^2\]
(2) \(B = 3 - \sin^2 90^\circ + 2\cos^2 60^\circ - 3\tan^2 45^\circ\)
\[B = 3 - (1)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 3(1)^2 = -\frac{1}{2}\]
(3) \(C = \sin^2 45^\circ - 2\sin^2 50^\circ + 3\cos^2 45^\circ - 2\sin^2 40^\circ + 4\tan 55^\circ \cdot \tan 35^\circ\)
\[C = \sin^2 45^\circ - 2\sin^2 50^\circ + 3\cos^2 45^\circ - 2\sin^2 40^\circ + 4\tan 55^\circ \cdot \tan 35^\circ\]
\[C = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2\left(\sin^2 50^\circ + \cos^2 40^\circ\right) + 4 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 + 4 = 4\]
Ví dụ 1.2. Tính giá trị các biểu thức sau:
(1) \(A = \sin^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 87^\circ\)
(2) \(B = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ\)
(3) \(C = \tan 5^\circ \tan 15^\circ \dots \tan 80^\circ \tan 85^\circ\)
Lời giải:
(1) \(A = \sin^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 87^\circ\)
\[A = (\sin^2 3^\circ + \sin^2 87^\circ) + (\sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ)\]
\[A = (\sin^2 3^\circ + \cos^2 3^\circ) + (\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) = 1 + 1 = 2\]
(2) \(B = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ\)
\[B = (\cos 0^\circ + \cos 180^\circ) + (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + \dots + (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ)\]
\[B = (\cos 0^\circ - \cos 0^\circ) + (\cos 20^\circ - \cos 20^\circ) + \dots + (\cos 80^\circ - \cos 80^\circ) = 0\]
(3) Ta có:
\[C = (\tan 5^\circ \tan 85^\circ)(\tan 15^\circ \tan 75^\circ)\dots(\tan 45^\circ \tan 45^\circ)\]
\[C = (\tan 5^\circ \cot 5^\circ)(\tan 15^\circ \cot 15^\circ)\dots(\tan 45^\circ \cot 5^\circ) = 1\]
Ví dụ 1.3. Thực hiện các yêu cầu sau:
(1) Cho \(\tan x = 2\). Tính \(A = \frac{3\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}\)
(2) Cho \(\cot a = -3\). Tính \(A = \frac{\sin a - 2\cos a}{3\cos a + 2\sin a}\)
Lời giải:
(1) Cho \(\tan x = 2\). Tính \(A = \frac{3\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}\):
Ta có:
\[A = \frac{3\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x}} = \frac{3\tan x + 1}{\tan x - 1} = 7\]
(2) Cho \(\cot a = -3\). Tính \(A = \frac{\sin a - 2\cos a}{3\cos a + 2\sin a}\):
Ta có:
\[A = \frac{\frac{\sin a}{\sin a} - 2\frac{\cos a}{\sin a}}{3\frac{\cos a}{\sin a} + 2\frac{\sin a}{\sin a}} = \frac{1 - 2\cot a}{3\cot a + 2} = -1\]
