Tóm tắt chuyên đề: Chuyên đề củng cố định nghĩa góc lượng giác, quy ước chiều quay trên đường tròn lượng giác, mối liên hệ giữa đơn vị độ ...
Tóm tắt chuyên đề: Chuyên đề củng cố định nghĩa góc lượng giác, quy ước chiều quay trên đường tròn lượng giác, mối liên hệ giữa đơn vị độ và radian cùng công thức tính độ dài cung tròn \(l = R\alpha\). Phần bài tập tập trung vào các dạng toán mô hình hóa thực tế điển hình như chuyển động tròn của vệ tinh, kim đồng hồ, tính hải lí và khoảng cách cung kinh tuyến.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Góc lượng giác và số đo:
Cho hai tia \(Ou, Ov\). Tia \(Om\) quay quanh \(O\) từ \(Ou\) đến \(Ov\) quét nên một góc lượng giác có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\), kí hiệu là \((Ou, Ov)\).
- Quy ước: Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương (\(+\)), cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm (\(-\)).
- Số đo góc lượng giác \((Ou, Ov)\) được kí hiệu là \(\text{sđ}(Ou, Ov)\).
2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn:
Mối quan hệ giữa độ và radian:
\[1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\]
Một cung của đường tròn bán kính \(R\) có số đo \(\alpha\) (rad) thì có độ dài là:
\[l = R \cdot \alpha\]
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG THỰC TẾ
Bài 1: Một vệ tinh định vị tại vị trí \(A\) trong không gian, chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 9000\text{ km}\). Vệ tinh hoàn thành một vòng quỹ đạo trong thời gian \(2\text{ h}\).
a) Tính quãng đường vệ tinh di chuyển được sau \(1\text{ h}\); \(3\text{ h}\); \(5\text{ h}\).
b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường \(200\,000\text{ km}\) sau bao nhiêu giờ (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
a) Chiều dài một vòng quỹ đạo tròn là: \(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 9000 = 18\,000\pi\text{ (km)}\).
Vận tốc của vệ tinh: \(v = \frac{18\,000\pi}{2} = 9\,000\pi\text{ (km/h)}\).
- Quãng đường sau \(1\text{ h}\): \(s_1 = 9\,000\pi \approx 28\,274\text{ km}\).
- Quãng đường sau \(3\text{ h}\): \(s_3 = 9\,000\pi \cdot 3 = 27\,000\pi \approx 84\,823\text{ km}\).
- Quãng đường sau \(5\text{ h}\): \(s_5 = 9\,000\pi \cdot 5 = 45\,000\pi \approx 141\,372\text{ km}\).
b) Thời gian để vệ tinh di chuyển quãng đường \(200\,000\text{ km}\) là:
\[t = \frac{200\,000}{9\,000\pi} \approx 7\text{ (giờ)}\]
Bài 2: Hải lí là một đơn vị đo khoảng cách hàng hải, tính bằng độ dài cung chắn góc \(\alpha = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ\) của đường kinh tuyến Trái Đất. Cho bán kính trung bình Trái Đất là \(R = 6\,371\text{ km}\). Hãy đổi \(\alpha\) sang radian và tính độ dài của \(1\) hải lí theo kilômét (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải:
Đổi số đo góc sang radian:
\[\alpha = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ = \frac{1}{60} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{10\,800}\text{ (rad)}\]
Độ dài \(1\) hải lí tương ứng với độ dài cung kinh tuyến:
\[l = R \cdot \alpha = 6\,371 \cdot \frac{\pi}{10\,800} \approx 1{,}85\text{ (km)}\]
Bài 3: Bánh xe đạp có đường kính \(d = 650\text{ mm}\) quay được \(11\) vòng trong \(5\) giây.
a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong \(1\) giây.
b) Tính quãng đường người đi xe đạp đi được trong \(1\) phút.
Lời giải:
a) Trong \(1\) giây, số vòng bánh xe quay được là: \(\frac{11}{5} = 2{,}2\) vòng.
- Theo độ: \(2{,}2 \cdot 360^\circ = 792^\circ\).
- Theo radian: \(2{,}2 \cdot 2\pi = 4{,}4\pi\text{ (rad)}\).
b) Chu vi của bánh xe đạp là: \(C = \pi d = 650\pi\text{ mm} = 0{,}65\pi\text{ m}\).
Trong \(1\) phút (\(60\) giây), số vòng quay là: \(2{,}2 \cdot 60 = 132\) vòng.
Quãng đường đi được trong \(1\) phút là:
\[s = 132 \cdot 0{,}65\pi \approx 269{,}55\text{ (m)}\]
Bài 4: Huyện Quản Bạ (Hà Giang) và huyện Cái Nước (Cà Mau) cùng nằm trên một kinh tuyến, có vĩ độ lần lượt là \(23^\circ 04'\) Bắc và \(9^\circ 11'\) Bắc. Hãy tính khoảng cách cung kinh tuyến giữa hai địa danh trên theo đường chim bay (coi bán kính Trái Đất \(R = 6\,371\text{ km}\)).
Lời giải:
Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối hai điểm là:
\[\alpha = 23^\circ 04' - 9^\circ 11' = 13^\circ 53' = \left(\frac{833}{60}\right)^\circ\]
Đổi sang đơn vị radian:
\[\alpha = \frac{833}{60} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{833\pi}{10\,800}\text{ (rad)}\]
Độ dài cung kinh tuyến cần tìm là:
\[l = R \cdot \alpha = 6\,371 \cdot \frac{833\pi}{10\,800} \approx 1\,543{,}7\text{ (km)}\]
