Tóm tắt nội dung: Tài liệu trình bày hệ thống lý thuyết nền tảng về khái niệm nguyên hàm của một hàm số, các tính chất cơ bản, vi phân, cù...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu trình bày hệ thống lý thuyết nền tảng về khái niệm nguyên hàm của một hàm số, các tính chất cơ bản, vi phân, cùng bảng công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp (hàm lũy thừa, mũ, lượng giác). Kèm theo đó là các câu hỏi trắc nghiệm nhận biết – thông hiểu giúp học sinh củng cố và nắm vững kiến thức.
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên một khoảng \(K\) (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số \(F(x)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(K\).
Chú ý: Trường hợp \(K = [a; b]\) thì các đẳng thức \(F'(a) = f(a)\) và \(F'(b) = f(b)\) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm \(x = a\) và đạo hàm bên trái tại điểm \(x = b\) của hàm số \(F(x)\), tức là:
\[\lim_{x \to a^+} \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = f(a) \quad \text{và} \quad \lim_{x \to b^-} \frac{F(x) - F(b)}{x - b} = f(b)\]
Định nghĩa: Giả sử hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\). Khi đó:
- Với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(F(x) + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\);
- Nếu hàm số \(G(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì tồn tại một hằng số \(C\) sao cho \(G(x) = F(x) + C\) với mọi \(x \in K\).
Như vậy, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + C\) (\(C\) là hằng số). Ta gọi \(F(x) + C\) (\(C \in \mathbb{R}\)) là họ các nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\), kí hiệu bởi \[\int f(x) \mathrm{d}x.\]
Chú ý:
- a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số \(f(x)\) trên \(K\), ta chỉ cần tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\) trên \(K\) và khi đó \[\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C \quad (C \text{ là hằng số}).\]
- b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số \(f(x)\) liên tục trên khoảng \(K\) thì \(f(x)\) có nguyên hàm trên khoảng đó.
- c) Biểu thức \(f(x) \mathrm{d}x\) gọi là vi phân của nguyên hàm \(F(x)\), kí hiệu là \(\mathrm{d}F(x)\). Vậy: \[\mathrm{d}F(x) = F'(x) \mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x.\]
- d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập \(K\), ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định.
2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0:
\[\int k f(x) \mathrm{d}x = k \int f(x) \mathrm{d}x \quad (k \neq 0).\]
Nguyên hàm của một tổng:
\[\int [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x + \int g(x) \mathrm{d}x\]
Nguyên hàm của một hiệu:
\[\int [f(x) - g(x)] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x - \int g(x) \mathrm{d}x\]
3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Hàm số luỹ thừa \(y = x^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) có đạo hàm với mọi \(x > 0\) và \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}\).
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
\(\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C\); \(\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C\)
\(\int \frac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x = \tan x + C\); \(\int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = -\cot x + C\)
c) Nguyên hàm của hàm số mũ:
\(\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C\); \(\int a^x \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (0 < a \neq 1)\)
Bảng tổng kết nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
| \[\int 0 \mathrm{d}x = C\] | \[\int 1 \mathrm{d}x = x + C\] |
| \[\int x^\alpha \mathrm{d}x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)\] | \[\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln|x| + C\] |
| \[\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C\] | \[\int a^x \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (0 < a \neq 1)\] |
| \[\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C\] | \[\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C\] |
| \[\int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = -\cot x + C\] | \[\int \frac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x = \tan x + C\] |
B. BÀI TẬP
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\int 0 \mathrm{d}x = C\).
B. \(\int x^4 \mathrm{d}x = \frac{x^5}{5} + C\).
C. \(\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln x + C\).
D. \(\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C\).
Câu 2: Tìm nguyên hàm \(F(x) = \int \pi^2 \mathrm{d}x\).
A. \(F(x) = \pi^2 x + C\).
B. \(F(x) = 2\pi x + C\).
C. \(F(x) = \frac{\pi^3}{3} + C\).
D. \(F(x) = \frac{\pi^2 x^2}{2} + C\).
Câu 3: Cho \(\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C\). Khi đó với \(a \neq 0\), \(a, b\) là hằng số ta có \(\int f(ax+b) \mathrm{d}x\) bằng
A. \(\int f(ax+b) \mathrm{d}x = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\).
B. \(\int f(ax+b) \mathrm{d}x = \frac{1}{a+b} F(ax+b) + C\).
C. \(\int f(ax+b) \mathrm{d}x = F(ax+b) + C\).
D. \(\int f(ax+b) \mathrm{d}x = a F(ax+b) + C\).
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3x^2 + 1\) là
A. \(x^3 + C\).
B. \(\frac{x^3}{3} + x + C\).
C. \(6x + C\).
D. \(x^3 + x + C\).
