Tổng quan kiến thức: Dạng toán chứng minh và rút gọn biểu thức lượng giác đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cơ bản nh...
Tổng quan kiến thức: Dạng toán chứng minh và rút gọn biểu thức lượng giác đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cơ bản như \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\), \(1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\) và mối quan hệ giá trị lượng giác của các góc liên kết (phụ nhau, bù nhau). Mục tiêu chính là đưa các biểu thức phức tạp về dạng tối giản hoặc hằng số không phụ thuộc vào biến số.
Dạng 3. Chứng minh/rút gọn đẳng thức/biểu thức lượng giác
Ví dụ 3.1. Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
(1) \(\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x\)
(2) \(\frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}\)
(3) \(\frac{\cos x + \sin x}{\cos^3 x} = \tan^3 x + \tan^2 x + \tan x + 1\)
Lời giải:
(1) Ta có:
\[\sin^4 x + \cos^4 x = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x - 2\sin^2 x \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x\]
(2) Ta biến đổi vế trái:
\[\frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} = \frac{1 + \frac{1}{\tan x}}{1 - \frac{1}{\tan x}} = \frac{\frac{\tan x + 1}{\tan x}}{\frac{\tan x - 1}{\tan x}} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}\]
(3) Ta biến đổi vế trái:
\[\frac{\cos x + \sin x}{\cos^3 x} = \frac{\cos x}{\cos^3 x} + \frac{\sin x}{\cos^3 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = (1 + \tan^2 x) + \tan x(1 + \tan^2 x) = \tan^3 x + \tan^2 x + \tan x + 1\]
Ví dụ 3.2. Rút gọn biểu thức:
(1) \(M = (\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2\)
(2) \(Q = \tan^2 x - \sin^2 x\)
(3) \(E = \cot^2 x - \cos^2 x\)
(4) \(G = (1 - \sin^2 x)\cot^2 x + (1 - \cot^2 x)\)
(5) \(V = \sin^2\alpha \tan^2\alpha + 4\sin^2\alpha - \tan^2\alpha + 3\cos^2\alpha\)
(6) \(Z = (\sin^4 x + \cos^4 x - 1)(\tan^2 x + \cot^2 x + 2)\)
Lời giải:
(1) Khai triển hằng đẳng thức:
\[\begin{cases} (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x \\ (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = 1 - 2\sin x \cos x \end{cases}\]
Suy ra \(M = (1 + 2\sin x \cos x) + (1 - 2\sin x \cos x) = 2\).
(2) Ta có:
\[Q = \tan^2 x - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \sin^2 x \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) = \sin^2 x \cdot \tan^2 x\]
(3) Ta có:
\[E = \cot^2 x - \cos^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2 x = \cos^2 x \left(\frac{1}{\sin^2 x} - 1\right) = \cos^2 x \cdot \cot^2 x\]
(4) Ta có:
\[G = (1 - \sin^2 x)\cot^2 x + (1 - \cot^2 x) = \cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 - \cot^2 x = \cot^2 x(\cos^2 x - 1) + 1 = \cot^2 x(-\sin^2 x) + 1 = -\cos^2 x + 1 = \sin^2 x\]
(5) Ta nhóm các hạng tử thích hợp:
\[V = \tan^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) + 4\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = \tan^2\alpha(-\cos^2\alpha) + 4\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = -\sin^2\alpha + 4\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 3\]
(6) Biến đổi từng nhân tử:
\[\sin^4 x + \cos^4 x - 1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x - 1 = -2\sin^2 x \cos^2 x\]
\[\tan^2 x + \cot^2 x + 2 = (\tan x + \cot x)^2 = \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 = \left(\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\]
Do đó:
\[Z = (-2\sin^2 x \cos^2 x) \left(\frac{\sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}\right) = -2(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = -2\]
Ví dụ 3.3. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
(1) \(A = \sin(90^\circ - x) + \cos(180^\circ - x) + \sin^2 x(1 + \tan^2 x) - \tan^2 x\)
(2) \(B = \frac{1}{\sin x}\sqrt{\frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x}} - \sqrt{2}\) với \(\sin x > 0\)
Lời giải:
(1) Áp dụng tính chất góc liên kết và công thức lượng giác cơ bản:
\[A = \cos x - \cos x + \sin^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \tan^2 x = 0 + \tan^2 x - \tan^2 x = 0\]
(2) Quy đồng mẫu số trong căn:
\[B = \frac{1}{\sin x}\sqrt{\frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sin x}\sqrt{\frac{2}{1 - \cos^2 x}} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sin x}\sqrt{\frac{2}{\sin^2 x}} - \sqrt{2}\]
Vì \(\sin x > 0\) nên \(\sqrt{\sin^2 x} = \sin x\). Do đó:
\[B = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin x} - \sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sin^2 x} - 1\right) = \sqrt{2}\cot^2 x\]
Ví dụ 3.4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\):
\[P = \sqrt{\sin^4 x + 6\cos^2 x + 3\cos^4 x} + \sqrt{\cos^4 x + 6\sin^2 x + 3\sin^4 x}\]
Lời giải:
Thay \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) và \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), ta có:
\[P = \sqrt{(1 - \cos^2 x)^2 + 6\cos^2 x + 3\cos^4 x} + \sqrt{(1 - \sin^2 x)^2 + 6\sin^2 x + 3\sin^4 x}\]
\[= \sqrt{4\cos^4 x + 4\cos^2 x + 1} + \sqrt{4\sin^4 x + 4\sin^2 x + 1}\]
\[= \sqrt{(2\cos^2 x + 1)^2} + \sqrt{(2\sin^2 x + 1)^2}\]
Vì \(2\cos^2 x + 1 > 0\) và \(2\sin^2 x + 1 > 0\), ta thu được:
\[P = 2\cos^2 x + 1 + 2\sin^2 x + 1 = 2(\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 = 2(1) + 2 = 4\]
(Lưu ý theo lời giải tài liệu: kết quả rút gọn là hằng số, suy ra biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào \(x\)).
