Tóm tắt nội dung: Tài liệu hướng dẫn chi tiết phương pháp xác định số hạng thứ \(k\) của một dãy số cho trước thuộc chương trình T...
DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ TỪ DÃY SỐ CHO TRƯỚC
Phương pháp chung
Ở dạng toán này, chúng ta thường gặp 4 bài toán cơ bản sau:
- Bài toán 1: Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát \(u_n = f(n)\). Yêu cầu tìm số hạng \(u_k\).
- Bài toán 2: Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi công thức truy hồi: \(\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}\). Yêu cầu tìm số hạng \(u_k\).
- Bài toán 3: Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \(\begin{cases} u_1 = a, u_2 = b \\ u_{n+2} = c \cdot u_{n+1} + d \cdot u_n + e \end{cases}\). Yêu cầu tìm số hạng \(u_k\).
- Bài toán 4: Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \(\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = f(\{n, u_n\}) \end{cases}\) (trong đó biểu thức \(u_{n+1}\) phụ thuộc vào cả \(n\) và \(u_n\)). Yêu cầu tìm số hạng \(u_k\).
CHI TIẾT PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHI TIẾT
⁂ Bài toán 1: Cho dãy số \((u_n)\): \(u_n = f(n)\). Hãy tìm số hạng \(u_k\).
Cách 1. Tự luận: Thay trực tiếp \(n = k\) vào công thức \(u_n = f(n)\).
Cách 2. Dùng máy tính cầm tay:
- Nhập biểu thức \(f(n)\) vào máy tính.
- Bấm nút
CALC, nhập \(X = k\). - Bấm
=thu được kết quả \(u_k\).
⁂ Bài toán 2: Cho dãy số \((u_n)\): \(\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}\). Hãy tìm số hạng \(u_k\).
Cách 1. Tự luận: Tính lần lượt các số hạng \(u_2, u_3, \dots, u_k\) bằng cách thế \(u_1\) vào \(u_2\), thế \(u_2\) vào \(u_3\), ..., thế \(u_{k-1}\) vào \(u_k\).
Cách 2. Dùng máy tính cầm tay: Lập quy trình bấm máy tính:
- Gán giá trị số hạng đầu: Nhập \(a \rightarrow \text{ANS}\) (bấm
a =). - Nhập biểu thức của \(u_{n+1} = f(\text{ANS})\).
- Lặp lại phím
=đến lần thứ \(k-1\) để thu được giá trị số hạng \(u_k\).
⁂ Bài toán 3: Cho dãy số \((u_n)\): \(\begin{cases} u_1 = a, u_2 = b \\ u_{n+2} = c \cdot u_{n+1} + d \cdot u_n + e \end{cases}\). Hãy tìm số hạng \(u_k\).
Cách 1. Tự luận: Tính lần lượt \(u_3, u_4, \dots, u_k\) bằng cách thế các giá trị đã biết vào công thức truy hồi.
Cách 2. Dùng máy tính cầm tay: Lập quy trình bấm máy tính:
- Quy ước các biến lưu trữ:
A: chứa giá trị của \(u_n\)B: chứa giá trị của \(u_{n+1}\)C: chứa giá trị của \(u_{n+2}\) - Nhập quy trình:
C = c*B + d*A + e : A = B : B = C - Bấm
=, gán giá trị khởi tạo \(B = b\), bấm=, gán \(A = a\), bấm=. - Lặp lại phím
=cho đến khi kết quả biếnCxuất hiện ở lần thứ \(k-2\), đó chính là giá trị của \(u_k\).
⁂ Bài toán 4: Cho dãy số \((u_n)\): \(\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = f(\{n, u_n\}) \end{cases}\). Hãy tìm số hạng \(u_k\).
Cách 1. Tự luận: Tính lần lượt các số hạng \(u_2, u_3, \dots, u_k\) bằng cách thế \(\{1, u_1\}\) vào \(u_2\); thế \(\{2, u_2\}\) vào \(u_3\); ...; thế \(\{k-1, u_{k-1}\}\) vào \(u_k\).
Cách 2. Dùng máy tính cầm tay: Lập quy trình bấm máy tính:
- Quy ước các biến:
A: chứa giá trị biến đếm \(n\)B: chứa giá trị của \(u_n\)C: chứa giá trị của \(u_{n+1}\) - Lập công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(A\) và \(B\).
- Gán quy trình tăng biến:
A = A + 1 : B = Cđể tính số hạng kế tiếp. - Lặp phím
=cho đến khi thu được lần thứ \(k-1\) giá trị biếnCchính là giá trị \(u_k\).
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.1:
(1) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
(2) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu (1). Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
Lời giải:
(1) Các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 sắp xếp tăng dần tạo thành một dãy số. Số hạng tổng quát của dãy số là:
\[ u_n = 5n + 1 \quad (n \in \mathbb{N}^*) \]
(2) Năm số hạng đầu tiên của dãy số ứng với \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) lần lượt là:
- Với \(n = 1 \Rightarrow u_1 = 5(1) + 1 = 6\)
- Với \(n = 2 \Rightarrow u_2 = 5(2) + 1 = 11\)
- Với \(n = 3 \Rightarrow u_3 = 5(3) + 1 = 16\)
- Với \(n = 4 \Rightarrow u_4 = 5(4) + 1 = 21\)
- Với \(n = 5 \Rightarrow u_5 = 5(5) + 1 = 26\)
Vậy dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu là: \(6;\ 11;\ 16;\ 21;\ 26\).
- Số hạng đầu tiên của dãy số là: \(6\).
- Số hạng cuối cùng của dãy số này là: \(26\).
