Tóm tắt nội dung: Tài liệu tóm tắt toàn bộ lý thuyết nền tảng và phân dạng bài tập về Chuyên đề Ứng dụng của tích phân trong chương trình ...
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Chuyên đề : “Ứng dụng của tích phân” là một nội dung rất quan trọng trong chương trình giáo dục 2018 của lớp 12. Về kiến thức kỹ năng đòi hỏi học sinh sử dụng thành thạo tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của một số hình khối , qua đó rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề một cách có hiệu quả.
Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách sử dụng tích phân để giải quyết một số bài toán tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay và các bài toán thực tế , chẳng hạn như bài toán tối ưu hóa chi phí trong các tình huống kinh tế, bài toán chuyển động của chất điểm từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao. Qua chuyên đề này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về lý thuyết tích phân mà còn rèn luyện cho các em kỹ năng mô hình hóa để giải quyết các bài toán trong thực tiễn. từ đó thấy được sự gần gũi và hữu ích của toán học trong thế giới xung quanh của chúng ta.
B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Diện tích hình thang cong
a. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \([a; b]\). Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành \(Ox\) (\(y = 0\)) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) được tính bởi công thức:
\[S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx\]Chú ý: Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \([a; b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu trên \([a; b]\) thì:
\[\int_{a}^{b} |f(x)| dx = \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right|\]b. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\)
Cho 2 hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục trên \([a; b]\). Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) được tính bởi công thức:
\[S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx\]2. Thể tích hình khối
a. Thể tích của vật thể
Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cùng vuông góc với trục \(Ox\) tại các điểm \(a\) và \(b\). Mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\) (\(a \le x \le b\)) cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích \(S(x)\). Khi đó, nếu \(S(x)\) là hàm số liên tục trên \([a; b]\) thì thể tích của vật thể được tính bởi công thức:
\[V = \int_{a}^{b} S(x) dx\]b. Thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục, không âm trên \([a; b]\). Hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) quay quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:
\[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\]CHỦ ĐỀ 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG CONG
DẠNG 1:
\[\begin{cases} y = f(x) \\ y = 0 \\ x = a \\ x = b \end{cases} \Rightarrow S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx\]DẠNG 2:
\[\begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x) \\ x = a \\ x = b \end{cases} \Rightarrow S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx\]
