Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp toàn bộ nền tảng lý thuyết trọng tâm về Xác suất có điều kiện và Công thức nhân xác suất thuộc chương ...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu cung cấp toàn bộ nền tảng lý thuyết trọng tâm về Xác suất có điều kiện và Công thức nhân xác suất thuộc chương trình Toán 12 mới. Kèm theo đó là hệ thống các bài tập trắc nghiệm cơ bản giúp rèn luyện kỹ năng phân tích điều kiện, tính xác suất dựa vào không gian mẫu thu hẹp và bảng số liệu thống kê thực tế.
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Định nghĩa xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được gọi là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), kí hiệu là \(P(A|B)\).
Nếu \(P(B) > 0\) thì:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Chú ý:
- Nếu \(P(B) > 0\) thì \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)\).
- Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố bất kì thì: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$ Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất. Trong đó \(n(A \cap B)\) là số các trường hợp thuận lợi của \(A \cap B\); \(n(B)\) là số các trường hợp thuận lợi của \(B\).
- Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố bất kì, với \(P(B) > 0\) thì: $$P(\overline{A}|B) = 1 - P(A|B)$$
- Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố với \(0 < P(A) < 1\); \(0 < P(B) < 1\). Khi đó, \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: $$P(A) = P(A|B) = P(A|\overline{B}) \quad \text{và} \quad P(B) = P(B|A) = P(B|\overline{A})$$
Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ GIẢI TOÁN
1. Xác suất điều kiện:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$
2. Công thức nhân xác suất:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$
Chú ý 1: Cho hai biến cố độc lập \(A\) và \(B\), với \(0 < P(A) < 1\); \(0 < P(B) < 1\):
$$P(A) = P(A|B) = P(A|\overline{B}), \quad P(B) = P(B|A) = P(B|\overline{A})$$
Chú ý 2:
- \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
- \(P(A|B) + P(\overline{A}|B) = 1\)
- \(P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A)\)
- \(P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(B)\)
- Cách ghi \(P(A \cap B)\) với \(P(AB)\) hoàn toàn như nhau.
Chú ý 3:
- Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm). Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện \(A\) nào đó phụ thuộc vào một điều kiện \(B\) nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
- Những bài toán xảy ra xác suất điều kiện thường đi kèm với việc sử dụng quy tắc nhân xác suất, khi gặp bài toán này ta cần lưu ý đến sự độc lập của biến cố để vận dụng công thức đúng.
B. BÀI TẬP
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, với \(P(A) = 0{,}2024\); \(P(B) = 0{,}2025\). Tính \(P(A|B)\).
A. \(0{,}7976\)
B. \(0{,}7975\)
C. \(0{,}2025\)
D. \(0{,}2024\)
Câu 2. Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), với \(P(A) = 0{,}8\); \(P(B) = 0{,}65\); \(P(A \cap \overline{B}) = 0{,}55\). Tính \(P(A \cap B)\).
A. \(0{,}25\)
B. \(0{,}1\)
C. \(0{,}15\)
D. \(0{,}35\)
Câu 3. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
A. \(\frac{2}{6}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{5}{6}\)
Câu 4. Một lớp có 95 sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê, biết rằng sinh viên đó là nữ?
A. \(\frac{1}{5}\)
B. \(\frac{11}{23}\)
C. \(\frac{12}{23}\)
D. \(\frac{11}{19}\)
Câu 5. Một mảnh đất chia thành hai khu vườn. Khu A có 150 cây ăn quả, khu B có 200 cây ăn quả. Trong đó, số cây Táo ở khu A và khu B lần lượt là 50 cây và 100 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B, là:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{4}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Câu 6. Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi và không trả lại bi được bốc vào hộp. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi trắng. Xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ là:
A. \(\frac{2}{9}\)
B. \(\frac{1}{10}\)
C. \(\frac{8}{9}\)
D. \(\frac{2}{5}\)
Câu 7. Khảo sát về sở thích uống trà sữa của 200 em học sinh theo giới tính và loại trà sữa ta được bảng số liệu sau:
| Loại trà | Nam | Nữ |
|---|---|---|
| Matcha | 40 | 50 |
| Hồng trà | 30 | 80 |
Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh. Nếu đã chọn được một bạn nữ thì xác suất để bạn nữ thích uống vị hồng trà là bao nhiêu?
A. \(\frac{8}{13}\)
B. \(\frac{5}{8}\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{2}{5}\)
