Tóm tắt kiến thức: Chuyên đề cung cấp nền tảng lý thuyết trọng tâm về công thức Hê-rông (Heron) trong chương trình Hình học 10. Tài liệu hư...
Công thức Heron (Hê-rông) thuộc chương Hệ thức lượng trong tam giác - trong chương trình Hình học – Toán lớp 10.
1. Công thức Heron tính diện tích tam giác bất kì
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(a, b, c\) và \(p\) là nửa chu vi của tam giác:
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]
Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức Heron:
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]
Trong đó:
- \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của tam giác \(ABC\).
- \(p\) là nửa chu vi.
- \(S\) là diện tích tam giác.
2. Các bước áp dụng giải bài tập
Để tính diện tích tam giác khi biết độ dài 3 cạnh, ta thực hiện theo 3 bước:
- Bước 1: Tính nửa chu vi \(p = \frac{a + b + c}{2}\).
- Bước 2: Tính các hiệu \((p - a)\), \((p - b)\), \((p - c)\).
- Bước 3: Thay vào công thức \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\) và rút gọn kết quả.
Ngoài ra, trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), nếu biết tọa độ 3 đỉnh \(A, B, C\), bước đầu tiên là dùng công thức khoảng cách để tính độ dài 3 cạnh \(a = BC, b = AC, c = AB\) rồi mới thực hiện 3 bước trên.
3. Ví dụ áp dụng cơ bản
Bài toán: Tính diện tích tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(a = 7\), \(b = 8\), \(c = 9\).
Lời giải:
- Tính nửa chu vi: \[p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12\]
- Áp dụng công thức Heron:
\[S = \sqrt{12 \cdot (12 - 7) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 9)}\]
\[S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \text{ (đơn vị diện tích)}\]
4. Các hệ quả và ứng dụng quan trọng
Từ công thức Heron, ta có thể suy ra các công thức liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp (\(r\)) và ngoại tiếp (\(R\)) của tam giác:
- Bán kính đường tròn nội tiếp (\(r\)):
\[S = p \cdot r \implies r = \frac{S}{p} = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}\]
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp (\(R\)):
\[S = \frac{abc}{4R} \implies R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}\]
- Ứng dụng trong hình học tọa độ \(Oxy\) hoặc giải tam giác: Giúp tính diện tích nhanh chóng khi không cần phải đi tìm chiều cao (đường cao) của tam giác hay số đo góc.
5. Các ví dụ minh họa có lời giải
Ví dụ 1: Tính bán kính đường tròn nội tiếp (\(r\))
Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\). Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Lời giải:
- Bước 1: Tính nửa chu vi (\(p\))\[p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\]
- Bước 2: Tính diện tích (\(S\)) bằng công thức Heron
\[S = \sqrt{21 \cdot (21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)}\]
\[S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\]
- Bước 3: Tính bán kính đường tròn nội tiếp (\(r\))
Áp dụng hệ quả \(S = p \cdot r\), ta suy ra:\[r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\]
Kết luận: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r = 4\).
Ví dụ 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (\(R\))
Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 8\). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Lời giải:
- Bước 1: Tính nửa chu vi (\(p\))\[p = \frac{5 + 7 + 8}{2} = 10\]
- Bước 2: Tính diện tích (\(S\)) bằng công thức Heron
\[S = \sqrt{10 \cdot (10 - 5) \cdot (10 - 7) \cdot (10 - 8)}\]
\[S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\]
- Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (\(R\))
Áp dụng hệ quả \(S = \frac{abc}{4R}\), ta suy ra:\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 10\sqrt{3}} = \frac{280}{40\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}\]
Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{7\sqrt{3}}{3}\).
Ví dụ 3: Ứng dụng trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)
Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A(1; 2)\), \(B(4; 6)\), và \(C(5; -1)\). Tính diện tích tam giác \(ABC\) và độ dài đường cao \(h_{a}\) hạ từ đỉnh \(A\).
Lời giải:
- Bước 1: Tính độ dài 3 cạnh bằng công thức khoảng cách
\[c = AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]
\[b = AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5\]
\[a = BC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (-1 - 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]
- Bước 2: Tính diện tích (\(S\)) bằng công thức Heron
\[p = \frac{5 + 5 + 5\sqrt{2}}{2} = 5 + \frac{5\sqrt{2}}{2}\]
Áp dụng Heron (hoặc tính nhanh vì đây là tam giác cân tại \(A\)):
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]
Thay các giá trị vào ta tính được: \[S = \frac{25}{2} = 12.5\]
- Bước 3: Tính đường cao \(h_{a}\)
Áp dụng công thức diện tích truyền thống \(S = \frac{1}{2}a \cdot h_a\), ta suy ra:\[h_{a} = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 12.5}{5\sqrt{2}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\]
Kết luận: Diện tích tam giác là \(12.5\) và độ dài đường cao \(h_{a}\) là \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).
