Tóm tắt nội dung: Tài liệu tóm lược toàn bộ kiến thức nền tảng trong chương trình Giải tích 12 phục vụ ôn thi giữa học kì 1. Nội dung bao ...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu tóm lược toàn bộ kiến thức nền tảng trong chương trình Giải tích 12 phục vụ ôn thi giữa học kì 1. Nội dung bao gồm khung lý thuyết tổng quan, phân biệt rõ các khái niệm điểm cực trị của hàm số và của đồ thị, quy trình từng bước khảo sát tính đơn điệu, tìm cực trị cũng như hai phương pháp xác định giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất (GTLN - GTNN) trên khoảng và trên đoạn.
A. LÝ THUYẾT TỔNG QUAN
Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị
- Các bước xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số.
Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Định nghĩa.
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng \((a; b)\).
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([a; b]\).
Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
- Trong vật lý.
- Trong hóa học.
- Trong sinh học.
- Trong kinh tế.
B. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dựa vào đồ thị hàm số, ta xác định:
- Các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến.
- \(x_1, x_2, x_3, x_4\) là các điểm cực trị của hàm số:
- \(x_1, x_3\) là các điểm cực đại.
- \(x_2, x_4\) là các điểm cực tiểu.
- \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), f(x_4)\) là các giá trị cực trị (hoặc cực trị) của hàm số:
- \(f(x_1), f(x_3)\) là các giá trị cực đại.
- \(f(x_2), f(x_4)\) là các giá trị cực tiểu.
- Các điểm \((x_1; f(x_1)), (x_2; f(x_2)), (x_3; f(x_3)), (x_4; f(x_4))\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số:
- \((x_1; f(x_1)), (x_3; f(x_3))\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- \((x_2; f(x_2)), (x_4; f(x_4))\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
CÁC QUY TRÌNH XÉT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ
1. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f(x)\):
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\; (i = 1, 2, \dots)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
- Nêu kết luận về khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2. Các bước tìm cực trị của hàm số \(y = f(x)\):
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\; (i = 1, 2, \dots)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
C. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập \(D\).
- Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập \(D\) nếu \(f(x) \le M\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \(x_0 \in D\) sao cho \(f(x_0) = M\).
Kí hiệu: \[M = \max_{x \in D} f(x) \quad \text{hoặc} \quad M = \max_D f(x)\]
- Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập \(D\) nếu \(f(x) \ge m\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \(x_0 \in D\) sao cho \(f(x_0) = m\).
Kí hiệu: \[m = \min_{x \in D} f(x) \quad \text{hoặc} \quad m = \min_D f(x)\]
2. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng \((a; b)\):
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \((a; b)\).
- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \((a; b)\) (nếu có).
3. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn \([a; b]\):
Định lí: Giả sử \(y = f(x)\) là hàm số liên tục trên \([a; b]\) và có đạo hàm trên \((a; b)\), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \([a; b]\) mà đạo hàm \(f'(x) = 0\).
- Tìm các điểm \(x_1, x_2, \dots, x_n \in (a; b)\) tại đó \(f'(x) = 0\) hoặc không tồn tại đạo hàm.
- Tính các giá trị: \(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_n), f(a)\) và \(f(b)\).
- Tìm số lớn nhất \(M\) và số nhỏ nhất \(m\) trong các số trên. Khi đó:
\[M = \max_{[a; b]} f(x), \quad m = \min_{[a; b]} f(x)\]
