Đề thi chính thức môn Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2026 - 2027 (vòng 1) của Ủy ban Nhân dân Phường Trường Vinh là tài li...
Đề thi chính thức môn Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2026 - 2027 (vòng 1) của Ủy ban Nhân dân Phường Trường Vinh là tài liệu thử sức hữu ích dành cho các em học sinh đang ôn luyện kì thi HSG các cấp. Đề thi gồm 6 câu tự luận đầy thử thách thuộc các chủ đề Số học, Hệ phương trình, Tổ hợp và Hình học phẳng.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC - VÒNG 1
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức
\( A=\dfrac{x^2-2x}{x^3-1}+\dfrac{x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{1+2x^2-2x}{x^4-x} \)
với \(x\neq0;x\neq1\).Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm tất cả các giá trị của \(x\) sao cho giá trị của \(A\) là một số tự nhiên.
b) Cho số thực \(x\) thỏa mãn: \( (x-1)^3=9x \). Chứng minh rằng: nếu \(y=x^2+x\) thì \( (y+1)^3=27y^2 \).
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
\(\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2+6\left(\dfrac{x-3}{x+2}\right)^2=\dfrac{7(x^2-9)}{x^2-4}\)
b) Giải hệ phương trình:
\(\begin{cases} 2x^2-2xy+y^2=x \\ 4x^2-5xy+2y^2=y \end{cases}\)
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Biết \(x,y\) là các số nguyên thỏa mãn: \(x^2-xy+4y^2\) chia hết cho 25. Chứng minh: \(x^2+xy+4y^2\) chia hết cho 25.
b) Tìm cặp số nguyên tố \((p,q)\) thỏa mãn \(p^2-1\) chia hết cho \(q\) và \(q^2-4\) chia hết cho \(p\).
c) Biết \(a+b\) là số nguyên và \(a^3+b^3=2\). Tính \(a+b\).
Câu 4. (2,0 điểm)
Bạn An viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số.
a) Tính xác suất của biến cố A: "Số viết được chia hết cho 11".
b) Tính xác suất của biến cố B: "Số viết được chia hết cho 11, có 3 chữ số khác nhau, các chữ số đều là số lẻ".
Câu 5. (7,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB \lt AC\)), có \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(BC,CA,AB\). Đường phân giác trong của góc \(B\) cắt \(DE,EF\) lần lượt tại \(Q,N\).
a) Chứng minh rằng: \(\angle CIN=\angle CEN\) và \(CN\perp BN\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), \(L\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng \(M,N,L\) thẳng hàng và tam giác \(MNQ\) cân.
c) Tia \(AI\) cắt cạnh \(DE\) tại \(P\). Chứng minh: \(EP\cdot IA=BC\cdot IQ\).
Câu 6. (1,0 điểm)
Bạn An tô màu các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2027, mỗi số được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng thỏa mãn các điều kiện:
1. Ba số tự nhiên liên tiếp bất kỳ có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng.
2. Tồn tại một số xanh và một số vàng có tổng bằng 2026.
Hỏi số 2027 được tô màu gì?
