Bài viết tổng hợp các câu hỏi tự luận và trả lời ngắn chủ đề Cấp số cộng trong chương trình Toán 11 SGK Thống nhất. Các bài tập được phân l...
CÂU HỎI VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI CẤP SỐ CỘNG
Câu 45. Tìm số hạng đầu \(u_1\) của cấp số cộng \((u_n)\) biết rằng: \(\begin{cases} u_4 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases}\)
Lời giải:
Trả lời: 1
\[\begin{cases} u_4 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ u_1 + 3d + u_1 + 5d = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3 \end{cases}\]
Vậy cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 1\) công sai \(d = 3\).
Câu 46. Trong một khán phòng có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước đó 4 ghế, hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế?
Lời giải:
Trả lời: 2190
Gọi \(u_1, u_2, \dots, u_{30}\) lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,..., dãy ghế thứ ba mươi.
Khi đó, \((u_n)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 15\), công sai \(d = 4\) (trong đó \(1 \le n \le 30\)). Gọi \(S_{30}\) là tổng số ghế trong khán phòng. Ta có:
\[S_{30} = u_1 + u_2 + \dots + u_{30} = \frac{30}{2}[2u_1 + (30-1)d] = 15(2 \cdot 15 + 29 \cdot 4) = 2190.\]
Câu 47. Cho bốn số thực tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tìm tích của bốn số đó.
Lời giải:
Trả lời: 585
Gọi bốn số cần tìm theo thứ tự cấp số cộng là: \(a - 3r, a - r, a + r, a + 3r\).
Ta có:
\[\begin{cases} (a - 3r) + (a - r) + (a + r) + (a + 3r) = 28 \\ (a - 3r)^2 + (a - r)^2 + (a + r)^2 + (a + 3r)^2 = 276 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4a = 28 \\ 4a^2 + 20r^2 = 276 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 7 \\ r^2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 7 \\ r = \pm 2 \end{cases}\]
Vậy bốn số cần tìm là 1, 5, 9, 13; tích của chúng bằng 585.
Câu 48. Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát \(u_n = 5n - 7\), biết tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng là \(S_n = 817\). Tìm \(n\).
Lời giải:
Trả lời: 19
Gọi \(u_1\) là số hạng đầu của cấp số cộng \((u_n)\).
Vì \(u_n = 5n - 7\) nên \(u_1 = 5 \cdot 1 - 7 = -2\).
\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} \Leftrightarrow 817 = \frac{n[-2 + (5n - 7)]}{2} \Leftrightarrow 5n^2 - 9n - 1634 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} n = 19 \\ n = -\frac{86}{5} \end{bmatrix}\]
Với điều kiện \(n \in \mathbb{N}^*\), ta tìm được \(n = 19\).
Câu 49. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_4 = -12, u_{14} = 18\). Tìm \(u_9\).
Lời giải:
Trả lời: 3
Ta có: \(\begin{cases} u_4 = u_1 + 3d \\ u_{14} = u_1 + 13d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = -12 \\ u_1 + 13d = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 3 \\ u_1 = -21 \end{cases}\)
\(\Rightarrow u_9 = u_1 + 8d = -21 + 8 \cdot 3 = 3.\)
Câu 50. Giải phương trình sau: \(2 + 7 + 12 + \dots + x = 245\).
Lời giải:
Trả lời: 47
Ta có dãy số \(2, 7, 12, \dots, x\) lập thành cấp số cộng có \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ d = 5 \\ u_n = x \\ S_n = 245 \end{cases}\)
Suy ra: \(S_n = 245 \Leftrightarrow 245 = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] \Leftrightarrow 245 \cdot 2 = n[2 \cdot 2 + (n-1)5] \Rightarrow n = 10.\)
Vậy \(x = u_{10} = u_1 + 9d = 2 + 9 \cdot 5 = 47.\)
Câu 51. Một ngôi nhà hình kim tự tháp (có gạch nâu ốp bên ngoài) được bao quanh bởi rất nhiều cây cối và là nơi tuyệt vời để nghỉ mát mùa hè; ngôi nhà có chiều dài, chiều rộng là \(6,8m\), chiều cao là \(2,72m\). Khi xây dựng ngôi nhà, người chủ đã tính toán số viên gạch nâu hình hộp chữ nhật cần ốp tường; biết hàng trên ít hơn hàng dưới 1 viên, hàng trên cùng là 1 viên, kích thước viên gạch nâu hình hộp chữ nhật là \(0,2m - 0,08m - 1m\). Hãy dự tính số viên gạch nâu ốp tường cả bốn mặt của ngôi nhà.
Lời giải:
Trả lời: 2380
Một bức tường có \(2,72 : 0,08 = 34\) hàng gạch.
Số gạch ở mỗi hàng tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 1\).
Số viên gạch trên một bức tường là \(S_{34} = 34 \cdot 1 + \frac{34 \cdot 33}{2} \cdot 1 = 595\) viên gạch.
Vì 4 mặt đều bằng nhau nên có \(4 \cdot 595 = 2380\) viên gạch người chủ dự tính đặt mua.
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \(x^3 - 3mx^2 + 2m(m-4)x + 9m^2 - m = 0\).
Lời giải:
Trả lời: 1
Phương trình: \(x^3 - 3mx^2 + 2m(m-4)x + 9m^2 - m = 0 \quad (*)\)
Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \(x_1, x_2, x_3\) lập thành một cấp số cộng.
Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có: \(x_1 + x_2 + x_3 = 3m \quad (1)\)
