Tài liệu tổng hợp hệ thống câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn chuyên đề Hàm số lượng giác môn Toán lớp 11. Nội dung bao gồm các dạng bài tập ...
CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 36. Tập giá trị của hàm số: \(y = 5 + 4\sin 2x \cos 2x\) có dạng \([a; b]\) với \(a, b\) là các số nguyên. Tính giá trị \(S = a^2 - 2ab\).
Lời giải:
Trả lời: -33
Xét hàm số \(y = 5 + 4\sin 2x \cos 2x\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y = 5 + 4\sin 2x \cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).
Do \(-1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow -2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [3; 7] \Rightarrow \begin{cases} a = 3 \\ b = 7 \end{cases} \Rightarrow S = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 = -33\).
Câu 37. Tập giá trị của hàm số: \(y = \sin^6 x + \cos^6 x\) có dạng \(\left[\frac{a}{b}; 1\right]\) với \(a, b\) là các số nguyên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị \(S = a + ab^2\).
Lời giải:
Trả lời: 17
Xét hàm số \(y = \sin^6 x + \cos^6 x\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y = \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\sin^2 x \cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x\).
Do \(0 \le \sin^2 2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge -\frac{3}{4}\sin^2 2x \ge -\frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 \ge 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 \ge y \ge \frac{1}{4}\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = \left[\frac{1}{4}; 1\right] \Rightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow S = 1 + 1 \cdot 4^2 = 17\).
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \([0; 10]\) để hàm số \(y = \sqrt{m - 2\sin x}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải:
Trả lời: 9
Hàm số xác định \(\Leftrightarrow m - 2\sin x \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge 2\sin x, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge 2\).
Vậy \(m \ge 2\).
Khi đó trong đoạn \([0; 10]\) có 9 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn (là các số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).
Câu 39. Số giờ có ánh sáng của thành phố T ở vĩ độ \(40^\circ\) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d(t) = 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Bạn An muốn đi tham quan thành phố T nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để thành phố T có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Lời giải:
Trả lời: 353
Do \(\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right] \ge -1 \Rightarrow 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right] \ge -3 \Rightarrow 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right] + 12 \ge 9 \Rightarrow d(t) \ge 9\).
Vậy thành phố T có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:
\(\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right] = -1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t-80) = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t-80 = 182\left(-\frac{1}{2} + 2k\right) \Leftrightarrow t = 364k - 11, k \in \mathbb{Z}\).
Mặt khác: \(0 < 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow \frac{11}{364} < k \le \frac{376}{364} \Rightarrow k = 1\) (do \(k \in \mathbb{Z}\)).
\(\Rightarrow t = 364 - 11 = 353\).
Vậy thành phố T có ít giờ ánh sáng Mặt Trời nhất là 9 giờ khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ 353 trong năm.
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \([-10; 10]\) để hàm số \(y = \frac{\sin x - 1}{\cos x + m}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\).
Lời giải:
Trả lời: 18
Điều kiện xác định: \(\cos x + m \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq -m\).
Hàm số xác định trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} -m < -1 \\ -m > 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m > 1 \\ m < -1 \end{matrix}\right.\).
Khi đó trong đoạn \([-10; 10]\) có \(9 + 9 = 18\) giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 41. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1\).
Lời giải:
Trả lời: -2
Xét \(y = f(x) = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1, \forall x \in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow -2 \le 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 2, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow -3 \le 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 \le 1, \forall x \in \mathbb{R}\).
\(f_{\text{Max}}(x) = 1 \Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\).
\(f_{\text{Min}}(x) = -3 \Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\).
Khi đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(1 + (-3) = -2\).
Câu 42. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = \sqrt{1 + \sin x} - 3\). Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2.
Lời giải:
Xem chi tiết trong file dưới đây.
