Tóm tắt kiến thức: Bài viết hệ thống lại toàn bộ các công thức tính số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị,...
Tóm tắt kiến thức: Bài viết hệ thống lại toàn bộ các công thức tính số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) và số đặc trưng đo mức độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn) cho mẫu số liệu ghép nhóm trong chương trình Toán 12, kèm bảng biểu minh họa rõ ràng.
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1.1. Số trung bình cộng (số trung bình)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 1:
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
|---|---|---|
| \([a_1; a_2)\) | \(x_1\) | \(n_1\) |
| \([a_2; a_3)\) | \(x_2\) | \(n_2\) |
| ... | ... | ... |
| \([a_m; a_{m+1})\) | \(x_m\) | \(n_m\) |
| Tổng | \(n = n_1 + n_2 + \dots + n_m\) | |
Bảng 1
- Trung điểm \(x_i\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm \(i\) là giá trị đại diện của nhóm đó.
- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline{x}\), được tính theo công thức:
\[\overline{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_m x_m}{n}\]
Ý nghĩa: Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu đó khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng.
1.2. Trung vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 2:
| Nhóm | Tần số | Tần số tích luỹ |
|---|---|---|
| \([a_1; a_2)\) | \(n_1\) | \(cf_1 = n_1\) |
| \([a_2; a_3)\) | \(n_2\) | \(cf_2 = n_1 + n_2\) |
| ... | ... | ... |
| \([a_m; a_{m+1})\) | \(n_m\) | \(cf_m = n_1 + n_2 + \dots + n_m\) |
| Tổng | \(n\) |
Bảng 2
Giả sử nhóm \(k\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2}\), tức là \(cf_{k-1} < \frac{n}{2}\) nhưng \(cf_k \ge \frac{n}{2}\). Ta gọi \(r, d, n_k\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(k\); \(cf_{k-1}\) là tần số tích luỹ của nhóm \(k - 1\).
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(M_e\), được tính theo công thức sau:
\[M_e = r + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf_{k-1}}{n_k} \right) \cdot d\]
Quy ước: \(cf_0 = 0\).
Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đó.
1.3. Tứ phân vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 2.
● Giả sử nhóm \(p\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4}\), tức là \(cf_{p-1} < \frac{n}{4}\) nhưng \(cf_p \ge \frac{n}{4}\). Ta gọi \(s, h, n_p\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(p\); \(cf_{p-1}\) là tần số tích luỹ của nhóm \(p - 1\).
- Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) được tính theo công thức sau:
\[Q_1 = s + \left( \frac{\frac{n}{4} - cf_{p-1}}{n_p} \right) \cdot h\]
- Tứ phân vị thứ hai \(Q_2\) bằng trung vị \(M_e\).
● Giả sử nhóm \(q\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3n}{4}\), tức là \(cf_{q-1} < \frac{3n}{4}\) nhưng \(cf_q \ge \frac{3n}{4}\). Ta gọi \(t, l, n_q\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(q\); \(cf_{q-1}\) là tần số tích luỹ của nhóm \(q - 1\).
- Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) được tính theo công thức sau:
\[Q_3 = t + \left( \frac{\frac{3n}{4} - cf_{q-1}}{n_q} \right) \cdot l\]
Ý nghĩa: Tứ phân vị \(Q_1, Q_2, Q_3\) của mẫu số liệu chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần chứa \(25\%\) giá trị.
1.4. Mốt
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 2. Giả sử nhóm \(i\) là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi \(u, g, n_i\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(i\); \(n_{i-1}, n_{i+1}\) lần lượt là tần số của nhóm \(i - 1\), nhóm \(i + 1\).
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(M_o\), được tính theo công thức sau:
\[M_o = u + \left( \frac{n_i - n_{i-1}}{2n_i - n_{i-1} - n_{i+1}} \right) \cdot g\]
Quy ước: \(n_0 = 0; n_{m+1} = 0\).
Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đó.
2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
2.1. Khoảng biến thiên
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 3, trong đó \(n_1 > 0\) và \(n_m > 0\):
| Nhóm | Tần số |
|---|---|
| \([a_1; a_2)\) | \(n_1\) |
| \([a_2; a_3)\) | \(n_2\) |
| ... | ... |
| \([a_m; a_{m+1})\) | \(n_m\) |
| Tổng | \(n\) |
Bảng 3
Gọi \(a_1, a_{m+1}\) lần lượt là đầu mút trái của nhóm 1, đầu mút phải của nhóm \(m\). Hiệu \(R = a_{m+1} - a_1\) được gọi là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
Ý nghĩa:
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu đó. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
- Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị \(a_1\) và \(a_{m+1}\) của mẫu số liệu nên đại lượng đó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
2.2. Khoảng tứ phân vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 2. Gọi \(Q_1, Q_2, Q_3\) là tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Ta gọi hiệu:
\[\Delta_Q = Q_3 - Q_1\]
là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường của mẫu số liệu và nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường đó.
2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 1.
- Gọi \(\overline{x}\) là số trung bình cộng của mẫu số liệu đó.
