Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa toàn diện các kiến thức trọng tâm về phương trình lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) kèm trườn...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa toàn diện các kiến thức trọng tâm về phương trình lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) kèm trường hợp đặc biệt và đơn vị độ; phương pháp hạ bậc và đưa về phương trình tích; cùng các quy tắc giải cơ bản của phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình \(\sin x = m\) (1)
- Với \(|m| > 1\): Phương trình (1) vô nghiệm.
- Với \(|m| \le 1\): Gọi \(\alpha\) là số thực thuộc đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin\alpha = m\). Khi đó:
\[\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Chú ý:
- Các trường hợp đặc biệt của phương trình \(\sin x = m\):
+) \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)
+) \(\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)
+) \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) - Nếu \(x\) là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\sin x = \sin a^\circ\) như sau:
\[\sin x = \sin a^\circ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = a^\circ + k360^\circ \\ x = 180^\circ - a^\circ + k360^\circ \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]
b) Phương trình \(\cos x = m\) (2)
- Với \(|m| > 1\): Phương trình (2) vô nghiệm.
- Với \(|m| \le 1\): Gọi \(\alpha\) là số thực thuộc đoạn \([0; \pi]\) sao cho \(\cos\alpha = m\). Khi đó:
\[\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Chú ý:
- Các trường hợp đặc biệt của phương trình \(\cos x = m\):
- \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)
- \(\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)
- \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) - Nếu \(x\) là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\cos x = \cos a^\circ\) như sau:
\[\cos x = \cos a^\circ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = a^\circ + k360^\circ \\ x = -a^\circ + k360^\circ \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]
c) Phương trình \(\tan x = m\)
Gọi \(\alpha\) là số thực thuộc khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\) sao cho \(\tan\alpha = m\). Khi đó, ta có:
\[\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Chú ý: Nếu \(x\) là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\tan x = \tan a^\circ\) như sau:
\[\tan x = \tan a^\circ \Leftrightarrow x = a^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})\]
d) Phương trình \(\cot x = m\)
Gọi \(\alpha\) là số thực thuộc khoảng \((0; \pi)\) sao cho \(\cot\alpha = m\). Khi đó, ta có:
\[\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Chú ý: Nếu \(x\) là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\cot x = \cot a^\circ\) như sau:
\[\cot x = \cot a^\circ \Leftrightarrow x = a^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})\]
2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
\[\sin f(x) = \sin g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f(x) = g(x) + k2\pi \\ f(x) = \pi - g(x) + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]
\[\cos f(x) = \cos g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f(x) = g(x) + k2\pi \\ f(x) = -g(x) + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Với phương trình có dạng:
\[\sin^2 u(x) = \sin^2 v(x), \quad \cos^2 u(x) = \cos^2 v(x), \quad \sin^2 u(x) = \cos^2 v(x)\]
ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng \(\cos f(x) = \cos g(x)\).
- Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để đưa về phương trình dạng tích \(A(x) \cdot B(x) = 0\).
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình mũ
Với \(a > 0, a \neq 1\) thì:
- \(a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) = \log_a b\) với \(b > 0\);
- \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)\).
2. Phương trình lôgarit
Với \(a > 0, a \neq 1\) thì:
- \(\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b\).
- \(\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \text{ hoặc } g(x) > 0. \end{array}\right.\)
3. Bất phương trình mũ
Với \(a > 0, a \neq 1\) thì:
a) Xét bất phương trình: \(a^{f(x)} > b\).
- Nếu \(b \le 0\), tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của \(f(x)\);
- Nếu \(b > 0, a > 1\) thì bất phương trình đưa về: \(f(x) > \log_a b\);
- Nếu \(b > 0, 0 < a < 1\) thì bất phương trình đưa về: \(f(x) < \log_a b\).
