Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hoá toàn bộ lý thuyết trọng tâm về phương trình mặt phẳng trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), bao gồm: khái...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hoá toàn bộ lý thuyết trọng tâm về phương trình mặt phẳng trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), bao gồm: khái niệm vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương, phương trình tổng quát, các phương pháp lập phương trình mặt phẳng (đi qua một điểm và biết VTPT/cặp VTCP, qua 3 điểm, phương trình đoạn chắn) cùng điều kiện vị trí tương đối (song song, vuông góc) giữa hai mặt phẳng.
1. Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
a. Vectơ pháp tuyến
Cho mặt phẳng \((P)\). Nếu vectơ \(\vec{n} \ne \vec{0}\) và có giá vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).
Nhận xét: Nếu \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì \(k\vec{n}\) (với \(k \ne 0\)) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b. Cặp vectơ chỉ phương
Cho mặt phẳng \((P)\). Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng \((P)\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\).
Nếu hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\), \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\) thì:
\[\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right)\]
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong trường hợp tổng quát, ta có:
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mỗi mặt phẳng \((P)\) có phương trình dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó \(A, B, C\) không đồng thời bằng \(0\).
- Ngược lại, mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó \(A, B, C\) không đồng thời bằng \(0\), đều xác định một mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\).
Phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\(A, B, C\) không đồng thời bằng \(0\)) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số \(D\) gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng \((P)\) có phương trình tổng quát là \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó \(A, B, C\) không đồng thời bằng \(0\), thì vectơ \(\vec{n} = (A; B; C)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện
a. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\[(P): A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\]Mặt phẳng \((P)\) có phương trình tổng quát là \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0\).
b. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
Để lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(x_0; y_0; z_0)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec{u}, \vec{v}\), ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Tìm \(\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]\).
- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(x_0; y_0; z_0)\) nhận \(\vec{n}\) làm vectơ pháp tuyến.
c. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Để lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(H(a_1; b_1; c_1)\), \(I(a_2; b_2; c_2)\), \(K(a_3; b_3; c_3)\) không thẳng hàng, ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec{HI} = (a_2 - a_1; b_2 - b_1; c_2 - c_1)\), \(\vec{HK} = (a_3 - a_1; b_3 - b_1; c_3 - c_1)\). - Bước 2: Tìm \(\vec{n} = [\vec{HI}, \vec{HK}]\).
- Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(H(a_1; b_1; c_1)\) nhận \(\vec{n}\) làm vectơ pháp tuyến.
Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0; 0; c)\) với \(abc \ne 0\) có phương trình là:
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
4. Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng, góc của hai mặt phẳng
a. Điều kiện song song của hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng \((P_1)\) có phương trình tổng quát là \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) và mặt phẳng \((P_2)\) có phương trình tổng quát là \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\).
Gọi \(\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)\), \(\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \((P_1), (P_2)\).
Khi đó: \((P_1) \parallel (P_2)\) khi và chỉ khi tồn tại số thực \(k \ne 0\) sao cho:
\[\begin{cases} \vec{n}_1 = k\vec{n}_2 \\ D_1 \ne kD_2 \end{cases}\]b. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng \((P_1)\) có phương trình tổng quát là \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) và mặt phẳng \((P_2)\) có phương trình tổng quát là \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\).
Khi đó:
\[(P_1) \perp (P_2) \iff A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0\]
