Tóm tắt chuyên đề: Dạng toán xác định nghiệm của phương trình đại số liên quan đến cấp số nhân vận dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc...
Dạng 5. Nghiệm của phương trình liên quan cấp số nhân
Phương pháp
(1) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba:
Nếu phương trình bậc ba \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) có ba nghiệm \(x_1, x_2, x_3\) thì:
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \\[6pt] x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \dfrac{c}{a} \\[6pt] x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a} \end{cases}\]
(2) Sử dụng kết quả này kết hợp với giả thiết của bài toán để tìm ra nghiệm của phương trình hoặc xác định mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình.
Trường hợp nếu \(x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}\) là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nói trên có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là \(x = \sqrt[3]{-\dfrac{d}{a}}\) là nghiệm của phương trình bậc ba đó.
Ví dụ 5.1
Cho phương trình \(x^2 - 12x + m = 0\) (1) và \(x^2 - 48x + q = 0\) (2). Giả sử (1) có hai nghiệm là \(x_1, x_2\); (2) có hai nghiệm là \(x_3, x_4\). Tìm \(m, q\) biết rằng \(x_1, x_2, x_3, x_4\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng.
Lời giải
Phương trình (1) có nghiệm khi \(\Delta' = 36 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 36\).
Phương trình (2) có nghiệm khi \(\Delta' = 576 - q \ge 0 \Leftrightarrow q \le 576\).
Theo định lý Vi-ét ta có \(\begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ x_1x_2 = m \end{cases}\) và \(\begin{cases} x_3 + x_4 = 48 \\ x_3x_4 = q \end{cases}\).
Gọi \(d\) là công bội của cấp số nhân đã cho ta có \(x_2 = x_1d\); \(x_3 = x_1d^2\); \(x_4 = x_1d^3\).
Do đó:
\[\begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ x_3 + x_4 = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1(1 + d) = 12 \\ x_1(d^2 + d^3) = 48 \end{cases}\]
suy ra \(d = \pm 2\). Vì cấp số nhân tăng nên \(d = 2\).
Ví dụ 5.2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để phương trình \(x^3 + x^2 + 2ax + a = 0\) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Lời giải
Theo tính chất của cấp số nhân và định lý Vi-ét ta được:
\[\begin{cases} x_1x_3 = x_2^2 \\ x_1 + x_2 + x_3 = -1 \\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 2a \\ x_1x_2x_3 = -a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_2^3 = -a \\ x_2^2 - (1 + x_2)x_2 = 2a \\ x_1x_2x_3 = -a \end{cases}\]
Từ đó ta được:
\[\begin{cases} x_2^3 = -a \\ x_2 = -2a \end{cases} \Leftrightarrow -8a^3 = -a \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0 \\ &a = \pm \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \end{aligned}\right.\]
Thử lại với các giá trị của \(a\) vừa tìm được ta thấy chỉ có \(a = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\) thỏa đề bài.
Ví dụ 5.3
Chứng minh phương trình \(x^3 - (m^2 + 3)x^2 + (m^2 + 3)x - 1 = 0\), với \(m \ne 0\) luôn có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Lời giải
Phương trình
\[\Leftrightarrow (x - 1)\left[x^2 - (m^2 + 2)x + 1\right] = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x_2 = 1 \\ &g(x) = x^2 - (m^2 + 2)x + 1 = 0 \quad (*) \end{aligned}\right.\]
Ta có:
\[\begin{cases} \Delta = m^4 + 4m^2 > 0 \\ g(1) = -m^2 \ne 0 \end{cases}, \quad \forall m \ne 0 \Rightarrow (*) \text{ có 2 nghiệm phân biệt } x_1; x_3 \ne 1.\]
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2, x_3\) thỏa \(x_1 \cdot x_3 = 1 = x_2^2\) (điều phải chứng minh).
