Tóm tắt nội dung: Tuyển tập những bài toán xác suất cổ điển đặc sắc được trích lọc từ đề thi chọn học sinh giỏi và kỳ thi thử tốt nghiệp T...
Tóm tắt nội dung: Tuyển tập những bài toán xác suất cổ điển đặc sắc được trích lọc từ đề thi chọn học sinh giỏi và kỳ thi thử tốt nghiệp THPT của các trường chuyên, sở giáo dục trên cả nước. Chuyên đề tập trung khai thác các góc nhìn tư duy đột phá, phương pháp lập luận đối xứng, quy tắc đếm bù và kỹ thuật tìm "chìa khóa" giải nhanh giúp tối ưu hóa thời gian làm bài thay vì các phép toán cồng kềnh.
VI. NHỮNG BÀI TOÁN ĐẸP TỪ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ ĐỀ THI THỬ
Mười bài toán dưới đây được chọn vì ý tưởng chứ không vì độ dài tính toán: mỗi bài có một "chìa khoá" – một nhận xét khiến bài toán tưởng phức tạp trở nên gọn gàng.
Bài 1. Xúc xắc và định lí côsin (Đề thi thử TN THPT – Sở GD&ĐT Thái Nguyên, 2026)
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, khác nhau, ba lần. Cộng số chấm của hai con ở mỗi lần, ta được ba số \(a, b, t\) (mỗi số từ 2 đến 12). Xét tam giác có hai cạnh \(a, b\) và góc xen giữa bằng \((t - 1) \cdot 15^\circ\). Tính xác suất để tam giác đó là tam giác vuông (làm tròn đến hàng phần trăm).
Chìa khoá: Góc xen giữa nhận các giá trị \(15^\circ; 30^\circ; \dots; 165^\circ\). Nếu góc vuông không phải góc xen giữa \(C\), thì tam giác vuông tại đỉnh khác, khi đó \(\cos C = \frac{b}{a}\) hoặc \(\frac{a}{b}\) – một số hữu tỉ. Trong các góc nhọn \(15^\circ, \dots, 75^\circ\) chỉ có \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) hữu tỉ.
Lời giải:
Mỗi lần gieo có 36 kết quả; số cách được tổng \(s\) là \(6 - |s - 7|\). Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 36^3\).
▸ Góc xen giữa bằng \(90^\circ\): \(t = 7\) (có 6 cách), \(a, b\) tuỳ ý: có \(6 \cdot 36^2\) kết quả.
▸ Góc xen giữa bằng \(60^\circ\): (\(t = 5\), có 4 cách) và \(a = 2b\) hoặc \(b = 2a\). Số cặp tổng \((a; b)\) với \(a = 2b\) gồm: \((4; 2), (6; 3), (8; 4), (10; 5), (12; 6)\) với số cách tạo thành là:
\[3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 45\]
Nhân đôi cho trường hợp \(b = 2a\): \(45 \cdot 2 = 90\). Do đó có \(4 \cdot 90 = 360\) kết quả.
Xác suất cần tìm là:
\[P = \frac{6 \cdot 36^2 + 360}{36^3} = \frac{113}{648} \approx 0{,}17\]
Bài 2. Ba thí sinh bốc phong bì (Đề thi thử TN THPT – Sở GD&ĐT Hải Phòng, 2026)
Có 12 câu hỏi khác nhau đựng trong 12 phong bì giống nhau. Ba thí sinh \(A, B, C\) lần lượt chọn ngẫu nhiên 4 phong bì (chọn xong thì trả lại). Tính xác suất để đồng thời: có ít nhất một câu mà cả ba thí sinh đều chọn, và tổng số câu khác nhau mà ba thí sinh đã chọn đúng bằng 9.
Chìa khoá – đếm theo “số lần thừa”: Ba thí sinh chọn tổng cộng \(3 \cdot 4 = 12\) lượt câu hỏi nhưng chỉ có 9 câu khác nhau: tổng số lượt “thừa” là 3. Một câu được cả ba chọn đã chiếm 2 lượt thừa; lượt thừa còn lại phải là đúng một câu được đúng hai người chọn.
Lời giải:
Số phần tử không gian mẫu: \(n(\Omega) = (C_{12}^4)^3 = 495^3\).
Đếm \(n(A)\):
▸ Chọn 9 câu được dùng trong 12 câu: có \(C_{12}^9 = 220\) cách.
▸ Chọn câu chung cho cả ba thí sinh: có 9 cách.
▸ Chọn câu chung cho đúng hai người: có 8 cách; chọn cặp thí sinh nhận câu chung này: có 3 cách.
▸ Còn lại 7 câu, mỗi câu thuộc đúng một người, cần chia thành các nhóm có số lượng 2, 2, 3 câu (do hai người trong cặp mỗi người cần thêm 2 câu, người còn lại cần thêm 3 câu): có \(\frac{7!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} = 210\) cách.
Vậy xác suất cần tìm là:
\[P = \frac{220 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 210}{495^3} = \frac{9\,979\,200}{121\,287\,375} = \frac{448}{5445}\]
Bài 3. Bảng \(3 \times 3\) với các số \(-1; 0; 1\) (Đề thi thử TN THPT – THPT chuyên Khoa học Tự nhiên (Hà Nội), 2026 – phát biểu theo ngôn ngữ xác suất cổ điển)
Xét các bảng ô vuông \(3 \times 3\) mà mỗi ô được điền một số thuộc \(\{-1; 0; 1\}\) sao cho tổng các số trên mỗi hàng đều bằng 0. Chọn ngẫu nhiên một bảng như vậy. Tính xác suất để tổng các số trên mỗi cột cũng bằng 0.
Lời giải:
Một hàng có tổng bằng 0 khi bộ ba số là \((0; 0; 0)\) hoặc một hoán vị của \((1; -1; 0)\): có tất cả \(1 + 3! = 7\) khả năng, nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 7^3 = 343\).
Gọi \(k\) là số hàng khác \((0; 0; 0)\):
▸ Với \(k = 0\): Có 1 bảng (tất cả các ô đều bằng 0, thỏa mãn tổng các cột bằng 0).
▸ Với \(k = 1\): Cột chứa số 1 của hàng đó có tổng bằng 1 (hoặc \(-1\)) – không có bảng nào thỏa mãn.
▸ Với \(k = 2\): Tổng hai hàng khác không phải là \((0; 0; 0)\), do đó hàng này phải là “đối” của hàng kia. Có 3 cách chọn vị trí hàng gồm ba số 0, có 6 cách chọn bộ số cho hàng thứ nhất (hàng còn lại hoàn toàn xác định): có \(3 \cdot 6 = 18\) bảng.
▸ Với \(k = 3\): Mỗi hàng là một hoán vị của \((1; -1; 0)\), toàn bộ bảng có đúng ba số 0. Nếu một cột toàn số 0 thì hai cột kia chỉ gồm các số \(\pm 1\); khi đó tổng ba số thuộc \(\{\pm 1\}\) luôn là một số lẻ, không thể bằng 0 (vô lí). Do đó, mỗi cột phải chứa đúng một số 0 và để có tổng bằng 0 thì mỗi cột phải có thêm một số 1 cùng một số \(-1\). Bảng khi đó là một hình vuông Latin cấp 3 trên tập \(\{-1; 0; 1\}\), có \(3! \cdot 2 = 12\) bảng.
Vậy số kết quả thuận lợi là \(n(A) = 1 + 18 + 12 = 31\) và xác suất là:
\[P = \frac{31}{343}\]
(Đề gốc yêu cầu tính giá trị \(3430p\), cho đáp số 310.)
Bài 4. Hai người bốc bóng – ai lớn hơn? (Đề thi thử TN THPT – THPT chuyên Trần Phú (Hải Phòng), 2026)
Hải có 9 quả bóng đánh số từ 1 đến 9; Sơn có 8 quả bóng đánh số từ 1 đến 8. Mỗi bạn bốc ngẫu nhiên 3 quả từ hộp của mình rồi xếp ba số theo thứ tự giảm dần để được một số có ba chữ số. Ai có số lớn hơn thì thắng. Tính xác suất để Sơn thua (làm tròn đến hàng phần trăm).
Chìa khoá – đối xứng: Nếu Hải không bốc quả số 9, hai bạn cùng chọn ngẫu nhiên từ tập \(\{1; \dots; 8\}\) nên vai trò của hai người là hoàn toàn bình đẳng: xác suất Hải có số lớn hơn bằng xác suất Sơn có số lớn hơn.
Lời giải:
Số cách chọn ngẫu nhiên ba quả bóng của hai bạn là:
\[n(\Omega) = C_9^3 \cdot C_8^3 = 84 \cdot 56\]
Xét hai khả năng của Hải:
▸ Hải bốc được quả số 9: Số cách chọn là \(C_8^2 = 28\) bộ. Vì chữ số hàng trăm của Hải là 9, trong khi số của Sơn chỉ có chữ số hàng trăm lớn nhất là 8, nên Hải chắc chắn thắng: có \(28 \cdot 56\) kết quả.
▸ Hải không bốc quả số 9: Số cách chọn là \(C_8^3 = 56\) bộ. Trong tổng số \(56 \cdot 56\) cặp số tạo thành, có đúng 56 cặp hai bạn tạo ra cùng một số; số cặp còn lại chia đôi do tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng là \(\frac{56 \cdot 55}{2} = 28 \cdot 55\).
Vậy xác suất để Sơn thua (tức là Hải thắng) là:
\[P = \frac{28 \cdot 56 + 28 \cdot 55}{84 \cdot 56} = \frac{28 \cdot 111}{84 \cdot 56} = \frac{37}{56} \approx 0{,}66\]
